Annexesmathématiques
282
Gradient
grad
f
f
f
x
e
f
y
e
f
z
e
x
y
z
= ∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
est un vecteur.
grad
u
u
u
u
u
u
x
y
z
x
= ∇
∇
∇
∇












=
∂
=
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂



 x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
z
x
x
y
y
y
z
z
z
 















est une matrice.
Divergence
D’un vecteur : div
tr
 u
u
u
u
x
u
y
u
z
x
y
z
= ∇ ⋅ = ( ) =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∇
est un scalaire.
D’un tenseur :
∇ ⋅ =
∇ ⋅
∇ ⋅
∇ ⋅












=
∂
A
A
A
A
x
y
z
A A
x
A
y
A
z
A
x
A
y
A
z
A
x
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂ ∂
∂
+
∂
∂




















=
∂
∂





A
y
A
z
A
x
zy
zz
ij
j
 
=
i 1 2 3
, ,
est un vecteur.
Laplacien
D’un scalaire : Δf
grad
f
x
y
f
f
f
f
=
(
) = ∇ ⋅ ∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
div
2
2
2
2
2
z z 2 est un scalaire.
D’un vecteur : Δ
u
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
x
x
x
y
y
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 u u
z
u
x
u
y
u
z
y
z
z
z
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂


















2
2
2
2
2
2
2
 

=
∂
∂ ∂






=
2
1 2 3
u
x x
i
j
j i , ,
est un vecteur.
9782100549337-Livre.indb 282
31/07/11 13:08