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annexes
maThémaTiques
Tenseurs
Soient B = ( ) =
ei
i

1 2 3
, ,
la base orthonormée directe cartésienne de l’espace  3 ,
u u e
u e
i i
i
i i



=
=
=
∑
1
3
(convention de sommation de l’indice répétée), la vitesse en un point
donné et P un scalaire représentant la pression par exemple. Le vecteur u est un tenseur
d’ordre 1 et le tenseur d’ordre 2 est une matrice : A
A ij i j
= [ ] =
,
, ,
1 2 3
.
Le produit contracté d’une matrice par un vecteur est un vecteur :
u
u
A
A u
A u
A u
A u
ij j
j
j j
j
j j
j
j j


= ◊ =
=
Ê
Ë
Á
=
=
=
Â
Â
Â
1
3
1
1
3
2
1
3
3
Á Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
Le produit de deux matrices : A B
A B
ik kj i j
⋅ = (
) =
,
, ,
1 2 3
est une matrice. De même, le produit contracté de 2 vecteurs, u v
u v
i j i j


⊗ = [ ] =
,
, ,
1 2 3
, est une matrice.
oPéraTeurs
Coordonnéescartésiennes
On pose B
e e e
x y z
≡ (
)
, , et u
e
e
e
u
u
u
x
y
z
x
y
z
=
+
+
.
9782100549337-Livre.indb 281
31/07/11 13:07