Chapitre11•Écoulementscompressibles–Propagationd’ondes
272
L’équation d’énergie peut être écrite en termes de température et de nombre de Mach
en utilisant la relation de la température d’arrêt :
T
T
Ma
Ma
2
1
1
2
2
2
1
1 2
1
1 2
=
+ −
(
)
[
]
+ −
(
)
[
]
(11.55)
En substituant les équations (11.54) et (11.55) dans l’équation (11.51), on obtient une
relation liant les nombres de Mach en amont et en aval de l’onde de choc normal :
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
1
1
2
1
2
1 2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
+
+
−
(
)
= +
+
−
/
( (
)
2
2
2
1 2
Ma
/
(11.56)
En résolvant cette équation pour Ma 2 en fonction de Ma 1 , on obtient deux solutions.
La première est triviale, Ma
Ma
1
2
qui signifie qu’il n’y a pas de choc à travers le
volume de contrôle. L’autre solution est :
Ma
Ma
Ma
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
=
−
(
)
+
− −
(
)
(11.57)
Lorsque Ma 1 1
dans l’équation (11.57) alors Ma 2 1
. Les équations (11.54) et
(11.55) montrent aussi qu’il n’y aura pas d’augmentation de pression et de température à
travers l’onde de choc. En fait, l’onde de choc correspondant à Ma 1 1
est l’onde acoustique à travers laquelle, par définition, les changements de température et de pression
sont infinitésimaux. Par conséquent, on peut dire que l’onde acoustique représente une
onde de choc normale dégénérée. On peut aussi combiner les équations (11.54) et (11.57)
pour obtenir :
P
P
Ma
2
1
1
2
2
1
1
1
= +
−
−
+
(11.58)
Or
P
P
P
P
P
P
P
P
0 2
0 1
0 2
2
2
1
1
0 1
,
,
,
,
=
(11.59)
Et donc d’après (11.20) et (11.58) on obtient finalement :
P
P
Ma
Ma
Ma
0 2
0 1
1
2
1
1
2 1
1
1
2
1
1
2
2
1
,
,
=
+
(
) +
−
(
)
+
−
−
2 2
1
1
1
1
−
−
+
−
(11.60)
11.11 onde de choc oblique
Les discontinuités dans les écoulements supersoniques ne sont pas toujours forcément
normales à la direction de l’écoulement. Il existe aussi des chocs obliques qui sont inclinés par rapport à la direction de l’écoulement. Si on se réfère à la structure du choc autour
d’un avion par exemple (voir Figure 11.12). Le segment de l’onde de choc immédiatement
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31/07/11 13:07
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L’équation d’énergie peut être écrite en termes de température et de nombre de Mach
en utilisant la relation de la température d’arrêt :
T
T
Ma
Ma
2
1
1
2
2
2
1
1 2
1
1 2
=
+ −
(
)
[
]
+ −
(
)
[
]
(11.55)
En substituant les équations (11.54) et (11.55) dans l’équation (11.51), on obtient une
relation liant les nombres de Mach en amont et en aval de l’onde de choc normal :
Ma
Ma
Ma
Ma
Ma
1
1
2
1
2
1 2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
+
+
−
(
)
= +
+
−
/
( (
)
2
2
2
1 2
Ma
/
(11.56)
En résolvant cette équation pour Ma 2 en fonction de Ma 1 , on obtient deux solutions.
La première est triviale, Ma
Ma
1
2
qui signifie qu’il n’y a pas de choc à travers le
volume de contrôle. L’autre solution est :
Ma
Ma
Ma
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
=
−
(
)
+
− −
(
)
(11.57)
Lorsque Ma 1 1
dans l’équation (11.57) alors Ma 2 1
. Les équations (11.54) et
(11.55) montrent aussi qu’il n’y aura pas d’augmentation de pression et de température à
travers l’onde de choc. En fait, l’onde de choc correspondant à Ma 1 1
est l’onde acoustique à travers laquelle, par définition, les changements de température et de pression
sont infinitésimaux. Par conséquent, on peut dire que l’onde acoustique représente une
onde de choc normale dégénérée. On peut aussi combiner les équations (11.54) et (11.57)
pour obtenir :
P
P
Ma
2
1
1
2
2
1
1
1
= +
−
−
+
(11.58)
Or
P
P
P
P
P
P
P
P
0 2
0 1
0 2
2
2
1
1
0 1
,
,
,
,
=
(11.59)
Et donc d’après (11.20) et (11.58) on obtient finalement :
P
P
Ma
Ma
Ma
0 2
0 1
1
2
1
1
2 1
1
1
2
1
1
2
2
1
,
,
=
+
(
) +
−
(
)
+
−
−
2 2
1
1
1
1
−
−
+
−
(11.60)
11.11 onde de choc oblique
Les discontinuités dans les écoulements supersoniques ne sont pas toujours forcément
normales à la direction de l’écoulement. Il existe aussi des chocs obliques qui sont inclinés par rapport à la direction de l’écoulement. Si on se réfère à la structure du choc autour
d’un avion par exemple (voir Figure 11.12). Le segment de l’onde de choc immédiatement
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