Chapitre11•Écoulementscompressibles–Propagationd’ondes
262
ce qui donne :
T
T
U
C T
U
rT
p
0
2
2
1 2
1
1
2
= +
= +
−
(11.18)
ou :
T
T
Ma
0
2
1
1
2
= +
−
(11.19)
Si on connaît la température locale T et le nombre de Mach, nous pouvons déterminer
la température d’arrêt T 0 . Les relations isentropiques peuvent être utilisées pour déterminer la pression et la densité d’arrêt :
P
P
T
T
Ma
0
0
1
2
1
1
1
2
= ( ) = +
−
−
−
(11.20)
ρ
ρ
γ
γ
γ
γ
γ
0
0
1
2
1
1
1
2
= ( ) = +
−
−
−
T
T
Ma
(11.21)
L’écoulement est sonique lorsque le nombre de Mach est égal à 1 (notons alors les propriétés critiques P , , c et T ). On obtient ces propriétés lorsque le fluide en expansion
ou en compression atteint Ma = 1. On a vu que l’enthalpie totale, donc T 0 est conservée
lorsque la transformation est adiabatique quels que soient les effets visqueux. La pression
d’arrêt P 0 et la densité d’arrêt 0 décroissent lorsqu’il y a les effets de friction. D’après
l’équation (11.18) pour un écoulement adiabatique :
U
r T T
=
−
−
(
)
2
1
0
1 2
/
(11.22)
L’écoulement atteint la vitesse maximale lorsque la température est théoriquement
nulle :
U
rT
max =
−
2
1
0
1 2
/
(11.23)
Pour un écoulement atteignant Ma = 1, les équations (11.19) à (11.21) peuvent s’écrire :
T
T
0
1
2
∗
=
+
(11.24)
P
P
0
1
1
2
∗
−
=
+
( )
(11.25)
ρ
ρ
γ
γ
0
1
1
1
2
∗
−
=
+
( )
(11.26)
Pour les gaz diatomiques, comme l’air par exemple, g = 1,4 et par conséquent :
T T
0
0 8333
∗ = ,
, P P
0
0 5285
*
,
et
0
0 6339
∗ = ,
. Pour les conditions soniques, la
vitesse de l’écoulement est égale à la vitesse du son : U
c
rT
∗
∗
∗
=
= [
]
1 2
/ , ce qui donne :
9782100549337-Livre.indb 262
31/07/11 13:06
262
ce qui donne :
T
T
U
C T
U
rT
p
0
2
2
1 2
1
1
2
= +
= +
−
(11.18)
ou :
T
T
Ma
0
2
1
1
2
= +
−
(11.19)
Si on connaît la température locale T et le nombre de Mach, nous pouvons déterminer
la température d’arrêt T 0 . Les relations isentropiques peuvent être utilisées pour déterminer la pression et la densité d’arrêt :
P
P
T
T
Ma
0
0
1
2
1
1
1
2
= ( ) = +
−
−
−
(11.20)
ρ
ρ
γ
γ
γ
γ
γ
0
0
1
2
1
1
1
2
= ( ) = +
−
−
−
T
T
Ma
(11.21)
L’écoulement est sonique lorsque le nombre de Mach est égal à 1 (notons alors les propriétés critiques P , , c et T ). On obtient ces propriétés lorsque le fluide en expansion
ou en compression atteint Ma = 1. On a vu que l’enthalpie totale, donc T 0 est conservée
lorsque la transformation est adiabatique quels que soient les effets visqueux. La pression
d’arrêt P 0 et la densité d’arrêt 0 décroissent lorsqu’il y a les effets de friction. D’après
l’équation (11.18) pour un écoulement adiabatique :
U
r T T
=
−
−
(
)
2
1
0
1 2
/
(11.22)
L’écoulement atteint la vitesse maximale lorsque la température est théoriquement
nulle :
U
rT
max =
−
2
1
0
1 2
/
(11.23)
Pour un écoulement atteignant Ma = 1, les équations (11.19) à (11.21) peuvent s’écrire :
T
T
0
1
2
∗
=
+
(11.24)
P
P
0
1
1
2
∗
−
=
+
( )
(11.25)
ρ
ρ
γ
γ
0
1
1
1
2
∗
−
=
+
( )
(11.26)
Pour les gaz diatomiques, comme l’air par exemple, g = 1,4 et par conséquent :
T T
0
0 8333
∗ = ,
, P P
0
0 5285
*
,
et
0
0 6339
∗ = ,
. Pour les conditions soniques, la
vitesse de l’écoulement est égale à la vitesse du son : U
c
rT
∗
∗
∗
=
= [
]
1 2
/ , ce qui donne :
9782100549337-Livre.indb 262
31/07/11 13:06