11.4•Pointd’arrêtetvitesseduson
261
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Par différentiation, on obtient :
d
d
d
+
+
=
U
U
S
S
0
(11.11)
Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert entre les points 1
et 2 (voir Figure 11.2) permet d’écrire que :
e
U
e
U
P v P v
Q
2
2
2
1
1
2
1 1
2 2
1 2
2
2
+
− −
=
−
+ →
(11.12)
où v 1 et v 2 correspondent aux volumes massiques aux points 1 et 2, e 1 et e 2 sont les
énergies internes massiques (voir Chapitre 1), P v
1 1 correspond au travail massique par
l’environnement extérieur qui pousse le fluide dans le volume de contrôle, P v
2 2 correspond au travail effectué par le fluide dans le volume de contrôle sur l’environnement
extérieur en poussant le fluide hors du volume de contrôle et Q 1 2
est la quantité de
chaleur échangée avec l’extérieur lorsque le fluide passe de l’état 1 à l’état 2. Sachant que
h = e + Pv, on obtient alors :
h
U
h
U
Q
2
2
2
1
1
2
1 2
2
2
+
= +
+ →
(11.13)
L’équation de Bernoulli peut être appliquée dans le cas d’écoulements non-visqueux et
stationnaires pour le cas compressible :
dP U
cte
r
+
=
Ú
2
2
(11.14)
On peut montrer que l’équation est équivalente à l’équation de l’énergie si on considère un écoulement non-visqueux et adiabatique (voir chapitre 5).
En appliquant le théorème de quantité de mouvement entre les sections 1 et 2, on
obtient :
P S P S
F Q U
Q U
m
m
1 1
2 2
2
1
−
+ =
−
(11.15)
ou encore :
P S P S
F
U S
U S
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 1
−
+ =
−
(11.16)
Où F est la résultante de la force suivant x exercée par le fluide sur les murs.
11.4 PoinT d’arrêT eT viTesse du son
Les valeurs d’arrêt sont utiles pour des conditions de référence dans un écoulement compressible. Supposons que les propriétés de l’écoulement (telles que T, P, r, etc.) soient
connues en un point. Les conditions d’arrêt correspondent aux conditions pour lesquelles
la vitesse devient nulle de façon isentropique. L’enthalpie d’arrêt (indice « 0 ») est définie
par : h
h U
0
2 2
= +
. Pour un gaz parfait :
C T
C T
U
p
p
0
2
2
=
+
(11.17)
9782100549337-Livre.indb 261
31/07/11 13:06
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Par différentiation, on obtient :
d
d
d
+
+
=
U
U
S
S
0
(11.11)
Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert entre les points 1
et 2 (voir Figure 11.2) permet d’écrire que :
e
U
e
U
P v P v
Q
2
2
2
1
1
2
1 1
2 2
1 2
2
2
+
− −
=
−
+ →
(11.12)
où v 1 et v 2 correspondent aux volumes massiques aux points 1 et 2, e 1 et e 2 sont les
énergies internes massiques (voir Chapitre 1), P v
1 1 correspond au travail massique par
l’environnement extérieur qui pousse le fluide dans le volume de contrôle, P v
2 2 correspond au travail effectué par le fluide dans le volume de contrôle sur l’environnement
extérieur en poussant le fluide hors du volume de contrôle et Q 1 2
est la quantité de
chaleur échangée avec l’extérieur lorsque le fluide passe de l’état 1 à l’état 2. Sachant que
h = e + Pv, on obtient alors :
h
U
h
U
Q
2
2
2
1
1
2
1 2
2
2
+
= +
+ →
(11.13)
L’équation de Bernoulli peut être appliquée dans le cas d’écoulements non-visqueux et
stationnaires pour le cas compressible :
dP U
cte
r
+
=
Ú
2
2
(11.14)
On peut montrer que l’équation est équivalente à l’équation de l’énergie si on considère un écoulement non-visqueux et adiabatique (voir chapitre 5).
En appliquant le théorème de quantité de mouvement entre les sections 1 et 2, on
obtient :
P S P S
F Q U
Q U
m
m
1 1
2 2
2
1
−
+ =
−
(11.15)
ou encore :
P S P S
F
U S
U S
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 1
−
+ =
−
(11.16)
Où F est la résultante de la force suivant x exercée par le fluide sur les murs.
11.4 PoinT d’arrêT eT viTesse du son
Les valeurs d’arrêt sont utiles pour des conditions de référence dans un écoulement compressible. Supposons que les propriétés de l’écoulement (telles que T, P, r, etc.) soient
connues en un point. Les conditions d’arrêt correspondent aux conditions pour lesquelles
la vitesse devient nulle de façon isentropique. L’enthalpie d’arrêt (indice « 0 ») est définie
par : h
h U
0
2 2
= +
. Pour un gaz parfait :
C T
C T
U
p
p
0
2
2
=
+
(11.17)
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