10.5•Traînéesuruneplaqueplane–Notiondecouchelimite
243
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En fait dans l’équation (10.17), le terme de gradient de pression est absent car lorsqu’on
s’éloigne de la paroi, les effets sont quasi-nuls et la vitesse est U, ce qui entraîne par
conséquent un gradient de pression nul. Cette propriété est particulière à ce type d’écoulement (plaque plane dans un domaine infini). Elle n’est pas valable par exemple lorsqu’on
ajoute une deuxième plaque et qui revient à considérer l’écoulement entre deux plaques
planes. Les équations contiennent alors le terme de gradient de pression. Le principe de
similitude nous permet d’écrire le rapport des vitesses comme :
u
U
F
y
F
= ( ) = ( )
δ
η
où η
δ
y / avec d qui correspond à l’épaisseur de la couche limite. Une analyse d’ordre
de grandeur de l’équation (10.17) donne u x vu
x
x
2
2
. La fonction F peut être déterminée par la théorie de Blasius.
Considérons cette distribution de vitesse u (ou la fonction F) parabolique autour de la
plaque plane. Cette distribution de vitesse qui vérifie bien les équations (10.17-10.18) peut
s’écrire sous la forme suivante :
η δ
η η
=
=
−
y u
U
;
2
2
(10.19)
En substituant l’équation (10.19) dans (10.16), on obtient :
τ
ρ
δ
η
ρ
δ
0
2
0
1
2
1
0 133
=
−
( ) =
∫
U x
u
U
u
U
U
x
d
d
d
d
d
,
(10.20)
Par ailleurs la contrainte à la paroi τ
μ
μ δ
p
y
u
y
U
d
d
0
2
.
Donc δ δ
μ
ρ
,
d
d
15 04 U
x et par conséquent :
δ
ν
2
2
15 04
,
=
+
U
x cste
(10.21)
Lorsque x = 0, d = 0 et donc cste = 0. La solution en d s’écrit alors :
,
5 48
Re
x
x
(10.22)
Avec Re
Ux v
x
le nombre de Reynolds à une abscisse x donnée. En substituant
dans (10.20), on obtient la contrainte dans la couche limite :
τ
ρ
0
2
0 73 2
1
,
U
Re x
(10.23)
9782100549337-Livre.indb 243
31/07/11 13:05
243
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En fait dans l’équation (10.17), le terme de gradient de pression est absent car lorsqu’on
s’éloigne de la paroi, les effets sont quasi-nuls et la vitesse est U, ce qui entraîne par
conséquent un gradient de pression nul. Cette propriété est particulière à ce type d’écoulement (plaque plane dans un domaine infini). Elle n’est pas valable par exemple lorsqu’on
ajoute une deuxième plaque et qui revient à considérer l’écoulement entre deux plaques
planes. Les équations contiennent alors le terme de gradient de pression. Le principe de
similitude nous permet d’écrire le rapport des vitesses comme :
u
U
F
y
F
= ( ) = ( )
δ
η
où η
δ
y / avec d qui correspond à l’épaisseur de la couche limite. Une analyse d’ordre
de grandeur de l’équation (10.17) donne u x vu
x
x
2
2
. La fonction F peut être déterminée par la théorie de Blasius.
Considérons cette distribution de vitesse u (ou la fonction F) parabolique autour de la
plaque plane. Cette distribution de vitesse qui vérifie bien les équations (10.17-10.18) peut
s’écrire sous la forme suivante :
η δ
η η
=
=
−
y u
U
;
2
2
(10.19)
En substituant l’équation (10.19) dans (10.16), on obtient :
τ
ρ
δ
η
ρ
δ
0
2
0
1
2
1
0 133
=
−
( ) =
∫
U x
u
U
u
U
U
x
d
d
d
d
d
,
(10.20)
Par ailleurs la contrainte à la paroi τ
μ
μ δ
p
y
u
y
U
d
d
0
2
.
Donc δ δ
μ
ρ
,
d
d
15 04 U
x et par conséquent :
δ
ν
2
2
15 04
,
=
+
U
x cste
(10.21)
Lorsque x = 0, d = 0 et donc cste = 0. La solution en d s’écrit alors :
,
5 48
Re
x
x
(10.22)
Avec Re
Ux v
x
le nombre de Reynolds à une abscisse x donnée. En substituant
dans (10.20), on obtient la contrainte dans la couche limite :
τ
ρ
0
2
0 73 2
1
,
U
Re x
(10.23)
9782100549337-Livre.indb 243
31/07/11 13:05