Chapitre9•ThéorèmedeBernoulligénéralisé
212
En divisant membre à membre la relation (9.3) par la relation (9.4) on obtient la relation de Bernoulli entre les points 1 et 2, quelque soit leur position sur les sections A 1 et
A 2 sur la Figure 9.2 sous la forme suivante :
U
g
p
g
z
U
g
p
g
z
2
1
2
2
2
2
0
+
+
−
+
+
=
(9.5)
Nous notons U p
z
2 , et les moyennes du carré de la vitesse, de la pression et de la
hauteur respectivement avec :
U
u u N S
u N S
p
pu N S
A
A
A
2
2
=
⋅
⋅
=
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
d
d
d
u N S
z
z u N S
u N S
A
A
A
⋅
=
⋅
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
d
d
d
(9.6)
En prenant maintenant en compte les pertes de charge et en supposant que la conduite
est équipée de machines réceptrices (turbine, signe + dans la relation (9.7)) et/ou génératrices (pompe, signe - dans la relation (9.7)) mettant en jeu un travail spécifique w i alors
la relation (9.5) devient :
U
g
p
g
z
U
g
p
g
z
w
g
h
h
i
i
r
2
1
2
2
2
2
+
+
−
+
+
=
±
± ±
∑
s s
(9.7)
Toute la difficulté dans l’application du théorème de Bernoulli généralisé réside dans
l’obtention des pertes de charge régulières h r et singulières h s en fonction de la géométrie
de la conduite, du type d’écoulement (laminaire ou turbulent), de la nature du fluide et de
l’état de surface de la paroi solide.
9.3 écoulemenT d’un fluide à l’enTrée
d’une conduiTe
Afin de bien comprendre la différence entre pertes de charges régulières et singulières,
examinons le profil de vitesse d’un fluide à l’entrée d’une conduite de diamètre D comme
cela est représenté sur la Figure 9.3. Le fluide est fortement cisaillé au voisinage de la
paroi alors qu’il est accéléré sur l’axe de la conduite où le frottement a moins d’effet
sur l’écoulement. On constate qu’au début de la conduite, la couche-limite de fluide se
développe et son épaisseur augmente au fur et à mesure jusqu’à complètement envahir
la section de l’écoulement à la distance L e (longueur d’entrée) où l’écoulement est dit
pleinement développé. On trouve alors des relations semi-empiriques liant cette distance
au nombre de Reynolds de l’écoulement. Dans le régime laminaire (Re<2000), cette
relation est :
L
D
Re
e
0 065
,
(9.8)
9782100549337-Livre.indb 212
31/07/11 13:04
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En divisant membre à membre la relation (9.3) par la relation (9.4) on obtient la relation de Bernoulli entre les points 1 et 2, quelque soit leur position sur les sections A 1 et
A 2 sur la Figure 9.2 sous la forme suivante :
U
g
p
g
z
U
g
p
g
z
2
1
2
2
2
2
0
+
+
−
+
+
=
(9.5)
Nous notons U p
z
2 , et les moyennes du carré de la vitesse, de la pression et de la
hauteur respectivement avec :
U
u u N S
u N S
p
pu N S
A
A
A
2
2
=
⋅
⋅
=
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
d
d
d
u N S
z
z u N S
u N S
A
A
A
⋅
=
⋅
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
d
d
d
(9.6)
En prenant maintenant en compte les pertes de charge et en supposant que la conduite
est équipée de machines réceptrices (turbine, signe + dans la relation (9.7)) et/ou génératrices (pompe, signe - dans la relation (9.7)) mettant en jeu un travail spécifique w i alors
la relation (9.5) devient :
U
g
p
g
z
U
g
p
g
z
w
g
h
h
i
i
r
2
1
2
2
2
2
+
+
−
+
+
=
±
± ±
∑
s s
(9.7)
Toute la difficulté dans l’application du théorème de Bernoulli généralisé réside dans
l’obtention des pertes de charge régulières h r et singulières h s en fonction de la géométrie
de la conduite, du type d’écoulement (laminaire ou turbulent), de la nature du fluide et de
l’état de surface de la paroi solide.
9.3 écoulemenT d’un fluide à l’enTrée
d’une conduiTe
Afin de bien comprendre la différence entre pertes de charges régulières et singulières,
examinons le profil de vitesse d’un fluide à l’entrée d’une conduite de diamètre D comme
cela est représenté sur la Figure 9.3. Le fluide est fortement cisaillé au voisinage de la
paroi alors qu’il est accéléré sur l’axe de la conduite où le frottement a moins d’effet
sur l’écoulement. On constate qu’au début de la conduite, la couche-limite de fluide se
développe et son épaisseur augmente au fur et à mesure jusqu’à complètement envahir
la section de l’écoulement à la distance L e (longueur d’entrée) où l’écoulement est dit
pleinement développé. On trouve alors des relations semi-empiriques liant cette distance
au nombre de Reynolds de l’écoulement. Dans le régime laminaire (Re<2000), cette
relation est :
L
D
Re
e
0 065
,
(9.8)
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