Chapitre8•Turbulence
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c’est-à-dire que 

turb
p

où  p est la contrainte visqueuse sur la paroi. En considérant
la vitesse de cisaillement (8.32), on obtient :
U
y
u
y
x
τ
χ
=
∂
∂






2 2
2
(8.44)
D’où : ∂ ∂ =
u y U
y
x
τ χ . En intégrant cette dernière équation, on trouve finalement :
u
U
y C
x =
+
τ
χ
ln
(8.45)
Malgré le fait que l’équation a été obtenue au voisinage de la paroi et que 

turb
p
 , on
peut donc l’utiliser dans tout le domaine. À une distance y = h (correspondant au milieu
du canal), u
U
x
max

. La solution finale est donc :
U
u
u
h
y
max
x
mur
−
=






1

ln
(8.46)
En fait, U r représente la vitesse de référence. On a d’après (8.45) :
u
U
y C
x
τ
χ
=
+
1 ln
(8.47)
On s’aperçoit que la condition de non-glissement à la paroi n’est pas satisfaite mais
peut être remplacée par (u
y y
x =
=
0
0
 à 
de la paroi) et par conséquent :
u
U
y
y
x
τ
χ
=
−
(
)
1
0
ln
ln
(8.48)
La distance y 0 est de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite visqueuse.
On peut encore écrire (8.48) sous la forme suivante :
u
U
y
U
x
τ
τ
χ
ν
β
=
−
(
)
1 ln 
ln
(8.49)
Ou alors :
u
U
A
y
D
x
t
=
+
+
1
1
 ln 
(8.50)
avec A 1 1
 /  et  est inclus dans D 1 .
L’équation (8.50) est généralement connue sous le nom de profil de vitesse universel à
cause du fait qu’elle est applicable pour des nombres de Reynolds modérés à des nombres
de Reynolds très grands. Cependant les constantes A 1 et D 1 doivent être trouvées à partir
des expériences. Ce profil de vitesse est valable aussi bien pour des canaux rectangulaires que circulaires. Les expériences effectuées par Nikuradse et Reichardt, donnent
pour un tube lisse l’équation suivante :
u
U
y
x
t
=
+
+
2 5
5 5
,  ln 
,
(8.51)
9782100549337-Livre.indb 202
31/07/11 13:04