8.8•Distributiondevitesseetcoefficientdefrottement
201
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Sachant que, lorsque u x
est positif, u y
sera négatif d’après l’équation de continuité et
inversement lorsque u x
est négatif, u y
sera positif. Par conséquent :
′ ′ = −
′ ′ = −
∂
∂
u u
C u u
C l
u
y
x y
x y
x
1
2
2
2
(8.39)
La constante C 2 peut être introduite dans la longueur de mélange et on peut donc
écrire la contrainte visqueuse turbulente comme :
τ
ρ
ρ
turb
x y
x
u u
l
u
y
= − ′ ′ =
∂
∂
2
2
(8.40)
La relation (8.40) peut aussi être écrite sous la forme :
τ
ρ
μ
turb
x
x
t
x
l
u
y
u
y
u
y
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
(8.41)
La viscosité apparente peut donc être exprimée par :
t
x
l
u
y
=
∂
∂
2
(8.42)
Cependant, le problème n’est toujours pas résolu. Comment déterminer la valeur de
la longueur de mélange « l » ? Plusieurs lois de corrélation (utilisant les résultats expérimentaux pour turb ) ont été proposées pour déterminer l. Dans le cas d’un régime de
turbulence isotrope, on utilise : l
y
où y est la distance à partir du mur et est la
constante de von Karman ( 0 4
, ).
8.8 disTribuTion de viTesse eT coefficienT
de froTTemenT Pour les écoulemenTs dans
des Tubes à grand nombre de reynolds
Pour des écoulements dans un canal rectangulaire à très grand nombre de Reynolds, la
sous-couche visqueuse laminaire peut être pratiquement ignorée. Le canal est de hauteur
2h et l’axe x est placé le long du mur inférieur du canal. La vitesse suivant x ne dépend
que de y (u x (y)). Près de la paroi, on peut appliquer la relation de la longueur de mélange
trouvée précédemment : l
y
. En suivant l’hypothèse de Prandtl, la contrainte visqueuse turbulente peut s’écrire :
τ
ρ χ
turb
x
y
u
y
=
∂
∂
2 2
(8.43)
Prandtl introduisit une hypothèse supplémentaire qui stipule que la contrainte visqueuse turbulente reste constante comme dans le cas d’un écoulement de Couette,
9782100549337-Livre.indb 201
31/07/11 13:04
201
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Sachant que, lorsque u x
est positif, u y
sera négatif d’après l’équation de continuité et
inversement lorsque u x
est négatif, u y
sera positif. Par conséquent :
′ ′ = −
′ ′ = −
∂
∂
u u
C u u
C l
u
y
x y
x y
x
1
2
2
2
(8.39)
La constante C 2 peut être introduite dans la longueur de mélange et on peut donc
écrire la contrainte visqueuse turbulente comme :
τ
ρ
ρ
turb
x y
x
u u
l
u
y
= − ′ ′ =
∂
∂
2
2
(8.40)
La relation (8.40) peut aussi être écrite sous la forme :
τ
ρ
μ
turb
x
x
t
x
l
u
y
u
y
u
y
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
(8.41)
La viscosité apparente peut donc être exprimée par :
t
x
l
u
y
=
∂
∂
2
(8.42)
Cependant, le problème n’est toujours pas résolu. Comment déterminer la valeur de
la longueur de mélange « l » ? Plusieurs lois de corrélation (utilisant les résultats expérimentaux pour turb ) ont été proposées pour déterminer l. Dans le cas d’un régime de
turbulence isotrope, on utilise : l
y
où y est la distance à partir du mur et est la
constante de von Karman ( 0 4
, ).
8.8 disTribuTion de viTesse eT coefficienT
de froTTemenT Pour les écoulemenTs dans
des Tubes à grand nombre de reynolds
Pour des écoulements dans un canal rectangulaire à très grand nombre de Reynolds, la
sous-couche visqueuse laminaire peut être pratiquement ignorée. Le canal est de hauteur
2h et l’axe x est placé le long du mur inférieur du canal. La vitesse suivant x ne dépend
que de y (u x (y)). Près de la paroi, on peut appliquer la relation de la longueur de mélange
trouvée précédemment : l
y
. En suivant l’hypothèse de Prandtl, la contrainte visqueuse turbulente peut s’écrire :
τ
ρ χ
turb
x
y
u
y
=
∂
∂
2 2
(8.43)
Prandtl introduisit une hypothèse supplémentaire qui stipule que la contrainte visqueuse turbulente reste constante comme dans le cas d’un écoulement de Couette,
9782100549337-Livre.indb 201
31/07/11 13:04