Chapitre8•Turbulence
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turbulente (voir Figure 8.7). L'écoulement moyen est parallèle à l’axe x. Les moyennes
temporelles des composantes de vitesse sont données par : u
u y
x
x
= ( ), u y 0 et u z = 0.
Les composantes fluctuantes de la vitesse transversale
u y transportent de la masse et du
mouvement à travers un plan à la distance y 1 de la paroi. La contrainte de cisaillement
turbulent due à cette fluctuation est donnée par :
τ
ρ
μ
turb
x y
t
x
u u
u
y
= − ′ ′ =
∂
∂
(8.35)
1
x
u y
1
x
u y l
1
x
u y l
1
y
proportionnel à u' x
y
x
proportionnel à u' y
l
l
Figure8.7–HypothèsedelalongueurdemélangedePrandtl.
Une masse de fluide qui arrive vers la couche y 1 à partir de la couche y l
1 −
(
) a une
valeur positive de
u y . La différence de vitesse entre les deux niveaux peut être exprimée
à partir du développement de Taylor au 1 er ordre :
Δu
u y
u y l
l
u
y
x
x
x
y
1
1
1
1
= ( ) −
−
(
) ≈
∂
∂
(8.36)
La longueur l qui est très petite est connue sous le nom de longueur de mélange de
Prandtl qui a proposé que le déplacement transverse d’une particule fluide quelconque
correspond en moyenne à « l ». Prenons le cas d’une autre masse de fluide avec une
valeur négative de
u y , celle-ci provenant de y l
1 +
(
) jusqu'à y 1 . La différence de vitesse
est donnée par :
Δu
u y l u y
l
u
y
x
x
x
y
2
1
1
1
=
+
(
) − ( ) ≈
∂
∂
(8.37)
La moyenne temporelle de la valeur absolue de cette fluctuation est donnée par :
′ =
+
(
) =
∂
∂
u
u
u
l
u
y
x
x
y
1
2
1
2
1
Δ
Δ
(8.38)
On peut postuler que les déplacements élémentaires de fluide autour de y 1 vont
entraîner la relation suivante : ′ ≅ ′
u
u
y
x et donc :
′ =
′ =
∂
∂
u
C u
C l
u
y
y
te
x
te
x
9782100549337-Livre.indb 200
31/07/11 13:04
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turbulente (voir Figure 8.7). L'écoulement moyen est parallèle à l’axe x. Les moyennes
temporelles des composantes de vitesse sont données par : u
u y
x
x
= ( ), u y 0 et u z = 0.
Les composantes fluctuantes de la vitesse transversale
u y transportent de la masse et du
mouvement à travers un plan à la distance y 1 de la paroi. La contrainte de cisaillement
turbulent due à cette fluctuation est donnée par :
τ
ρ
μ
turb
x y
t
x
u u
u
y
= − ′ ′ =
∂
∂
(8.35)
1
x
u y
1
x
u y l
1
x
u y l
1
y
proportionnel à u' x
y
x
proportionnel à u' y
l
l
Figure8.7–HypothèsedelalongueurdemélangedePrandtl.
Une masse de fluide qui arrive vers la couche y 1 à partir de la couche y l
1 −
(
) a une
valeur positive de
u y . La différence de vitesse entre les deux niveaux peut être exprimée
à partir du développement de Taylor au 1 er ordre :
Δu
u y
u y l
l
u
y
x
x
x
y
1
1
1
1
= ( ) −
−
(
) ≈
∂
∂
(8.36)
La longueur l qui est très petite est connue sous le nom de longueur de mélange de
Prandtl qui a proposé que le déplacement transverse d’une particule fluide quelconque
correspond en moyenne à « l ». Prenons le cas d’une autre masse de fluide avec une
valeur négative de
u y , celle-ci provenant de y l
1 +
(
) jusqu'à y 1 . La différence de vitesse
est donnée par :
Δu
u y l u y
l
u
y
x
x
x
y
2
1
1
1
=
+
(
) − ( ) ≈
∂
∂
(8.37)
La moyenne temporelle de la valeur absolue de cette fluctuation est donnée par :
′ =
+
(
) =
∂
∂
u
u
u
l
u
y
x
x
y
1
2
1
2
1
Δ
Δ
(8.38)
On peut postuler que les déplacements élémentaires de fluide autour de y 1 vont
entraîner la relation suivante : ′ ≅ ′
u
u
y
x et donc :
′ =
′ =
∂
∂
u
C u
C l
u
y
y
te
x
te
x
9782100549337-Livre.indb 200
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