8.7•Modèlesdecontraintedecisaillement
199
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
On peut donc écrire que :
δ
ν
τ
τ
SC U
C
U
U
=
∞
(8.33)
On définit une coordonnée non-dimensionnelle : y
yU
+ =
τ ν qui nous permettra
d’estimer différentes zones dans un écoulement turbulent. L’épaisseur de la sous-couche
visqueuse laminaire est en général considérée comme étant à peu près y + ≈ 5. Les
effets turbulents démarrent à partir de y + > 5 et dans la zone 5
70
< + <
y
, les mouvements laminaires et turbulents coexistent. Cette zone est appelée zone tampon. Lorsque
y + > 70, alors l’écoulement est pleinement turbulent.
Pour un écoulement sur une plaque plane, la contrainte visqueuse turbulente (- ¢ ¢
ru u
x y )
est constante tout au long de la direction y et devient égale à p à la paroi. Dans le cas
d’un écoulement dans un canal, cette contrainte varie suivant y et il est possible d’écrire :
turb
p
h y h
= −
(
) où le canal a une hauteur 2h et (h-y) est la distance mesurée à partir
du centre du canal. La figure 8.6 montre les différentes variations des contraintes
turbulentes.
zone turbulente
zone tampon
contraintes visqueuses turbulentes
' '
u v
xy
d
d
u
y
SC
U
U
sous-couche visqueuse laminaire
contraintes visqueuses totales
m
r
h
Figure8.6–Différenteszonespourunécoulementturbulent
suruneplaqueplane.
8.7 modèles de conTrainTe de cisaillemenT
Par analogie avec le coefficient de viscosité pour un écoulement laminaire, Boussinesq a
introduit un coefficient de mélange μ t pour le tenseur de Reynolds :
τ
ρ
μ
turb
x y
t
x
u u
u y
= − ′ ′ = ∂ ∂ . L’équation peut donc être écrite sous la forme suivante :
u
u
x
u
u
y
P
x
y
u
y
x
x
y
x
t
x
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
(
)
∂
∂
1
ρ
ν ν
(8.34)
v t est appelée viscosité turbulente qui est inconnue à ce stade ; elle est attribuée aux
fluctuations aléatoires et ne correspond donc pas à une propriété du fluide comme l’est la
viscosité cinématique v dans le cas laminaire. Il faut donc chercher des relations empiriques entre v t et la vitesse moyenne. Pour cela, considérons une couche limite pleinement
9782100549337-Livre.indb 199
31/07/11 13:04
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
On peut donc écrire que :
δ
ν
τ
τ
SC U
C
U
U
=
∞
(8.33)
On définit une coordonnée non-dimensionnelle : y
yU
+ =
τ ν qui nous permettra
d’estimer différentes zones dans un écoulement turbulent. L’épaisseur de la sous-couche
visqueuse laminaire est en général considérée comme étant à peu près y + ≈ 5. Les
effets turbulents démarrent à partir de y + > 5 et dans la zone 5
70
< + <
y
, les mouvements laminaires et turbulents coexistent. Cette zone est appelée zone tampon. Lorsque
y + > 70, alors l’écoulement est pleinement turbulent.
Pour un écoulement sur une plaque plane, la contrainte visqueuse turbulente (- ¢ ¢
ru u
x y )
est constante tout au long de la direction y et devient égale à p à la paroi. Dans le cas
d’un écoulement dans un canal, cette contrainte varie suivant y et il est possible d’écrire :
turb
p
h y h
= −
(
) où le canal a une hauteur 2h et (h-y) est la distance mesurée à partir
du centre du canal. La figure 8.6 montre les différentes variations des contraintes
turbulentes.
zone turbulente
zone tampon
contraintes visqueuses turbulentes
' '
u v
xy
d
d
u
y
SC
U
U
sous-couche visqueuse laminaire
contraintes visqueuses totales
m
r
h
Figure8.6–Différenteszonespourunécoulementturbulent
suruneplaqueplane.
8.7 modèles de conTrainTe de cisaillemenT
Par analogie avec le coefficient de viscosité pour un écoulement laminaire, Boussinesq a
introduit un coefficient de mélange μ t pour le tenseur de Reynolds :
τ
ρ
μ
turb
x y
t
x
u u
u y
= − ′ ′ = ∂ ∂ . L’équation peut donc être écrite sous la forme suivante :
u
u
x
u
u
y
P
x
y
u
y
x
x
y
x
t
x
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
(
)
∂
∂
1
ρ
ν ν
(8.34)
v t est appelée viscosité turbulente qui est inconnue à ce stade ; elle est attribuée aux
fluctuations aléatoires et ne correspond donc pas à une propriété du fluide comme l’est la
viscosité cinématique v dans le cas laminaire. Il faut donc chercher des relations empiriques entre v t et la vitesse moyenne. Pour cela, considérons une couche limite pleinement
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