Chapitre8•Turbulence
198
u
u
x
u
u
y
P
x
y
u
y
u u
x
x
y
x
x
x y
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
− ′ ′
1
ρ
ν
(8.29)
L’équation (8.29) est identique à celle de couche limite laminaire sauf que u x ,u y et P
sont remplacés par u x ,u y et P et que les efforts visqueux dans le cas laminaire
lam y
(où τ
μ
lam
x
u y
= ∂ ∂
) est remplacé par ∂
+
(
) ∂
lam
turb
y où τ
μ
lam
x
u y
= ∂ ∂
correspond
à la contrainte visqueuse laminaire et τ
ρ
turb
x y
u u
= − ′ ′ à la contrainte visqueuse
turbulente.
Conditions aux limites
Toutes les composantes des contraintes visqueuses apparentes deviennent nulles à la
paroi et seules subsistent les contraintes visqueuses de l’écoulement laminaire. Une
couche limite très fine existe près de la paroi dans le cas d’un écoulement turbulent et
qui se comporte comme dans le cas laminaire. Cette couche est connue sous le nom de
sous-couche visqueuse laminaire et les vitesses sont telles que les forces visqueuses sont
très grandes par rapport aux forces inertielles. Pour un écoulement pleinement turbulent
sur une plaque plane proche de la paroi sans gradient de pression suivant x, on peut écrire
d’après (8.29) :
∂
∂
−
∂
∂
′ ′
( ) =
2
2
0
u
y
y
u u
x
x y
(8.30)
Soit après intégration :
∂
∂
− ′ ′ =
u
y
u u
C
x
x y
te
Or, on sait que les composantes turbulentes fluctuantes sont nulles à y = 0. Donc :
ν
τ
ρ
∂
∂
=
=
u
y
x
y
p
0
La contrainte visqueuse t p à la paroi peut être estimée par :
τ
μ δ
μ δ
p
SC
SC
SC
SC
U
U
=
−
−
=
0
0
(8.31)
où U SC est la vitesse à la limite de la sous-couche visqueuse. On peut par ailleurs définir
une échelle caractéristique de la vitesse comme étant la vitesse de cisaillement :
U
p
τ
τ
ρ
=
1 2
/
(8.32)
Une fois que U est définie, la structure de la sous-couche visqueuse est alors bien
déterminée. Il a été expérimentalement confirmé que les distributions de l’intensité de
la turbulence sont proportionnelles à U . Par exemple, la valeur maximale de u x
' 2 est
d’ordre 8 2
U . La relation entre U et U SC peut être déterminée à partir des équations
(8.31)-(8.32) : U
U SC SC
τ
ν
δ
2
. Supposons maintenant que U
CU
SC =
∞ où C est une
constante.
9782100549337-Livre.indb 198
31/07/11 13:04
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u
u
x
u
u
y
P
x
y
u
y
u u
x
x
y
x
x
x y
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
− ′ ′
1
ρ
ν
(8.29)
L’équation (8.29) est identique à celle de couche limite laminaire sauf que u x ,u y et P
sont remplacés par u x ,u y et P et que les efforts visqueux dans le cas laminaire
lam y
(où τ
μ
lam
x
u y
= ∂ ∂
) est remplacé par ∂
+
(
) ∂
lam
turb
y où τ
μ
lam
x
u y
= ∂ ∂
correspond
à la contrainte visqueuse laminaire et τ
ρ
turb
x y
u u
= − ′ ′ à la contrainte visqueuse
turbulente.
Conditions aux limites
Toutes les composantes des contraintes visqueuses apparentes deviennent nulles à la
paroi et seules subsistent les contraintes visqueuses de l’écoulement laminaire. Une
couche limite très fine existe près de la paroi dans le cas d’un écoulement turbulent et
qui se comporte comme dans le cas laminaire. Cette couche est connue sous le nom de
sous-couche visqueuse laminaire et les vitesses sont telles que les forces visqueuses sont
très grandes par rapport aux forces inertielles. Pour un écoulement pleinement turbulent
sur une plaque plane proche de la paroi sans gradient de pression suivant x, on peut écrire
d’après (8.29) :
∂
∂
−
∂
∂
′ ′
( ) =
2
2
0
u
y
y
u u
x
x y
(8.30)
Soit après intégration :
∂
∂
− ′ ′ =
u
y
u u
C
x
x y
te
Or, on sait que les composantes turbulentes fluctuantes sont nulles à y = 0. Donc :
ν
τ
ρ
∂
∂
=
=
u
y
x
y
p
0
La contrainte visqueuse t p à la paroi peut être estimée par :
τ
μ δ
μ δ
p
SC
SC
SC
SC
U
U
=
−
−
=
0
0
(8.31)
où U SC est la vitesse à la limite de la sous-couche visqueuse. On peut par ailleurs définir
une échelle caractéristique de la vitesse comme étant la vitesse de cisaillement :
U
p
τ
τ
ρ
=
1 2
/
(8.32)
Une fois que U est définie, la structure de la sous-couche visqueuse est alors bien
déterminée. Il a été expérimentalement confirmé que les distributions de l’intensité de
la turbulence sont proportionnelles à U . Par exemple, la valeur maximale de u x
' 2 est
d’ordre 8 2
U . La relation entre U et U SC peut être déterminée à partir des équations
(8.31)-(8.32) : U
U SC SC
τ
ν
δ
2
. Supposons maintenant que U
CU
SC =
∞ où C est une
constante.
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