8.6•Équationsdecouchelimiteturbulentesuruneplaqueplane
197
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
ρ
μ
ρ
τ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
z
x
z
y
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x xz
yz
zz
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
τ
σ
(8.25)
Le tenseur de contrainte turbulent peut s’écrire sous la forme suivante :
′
′
′
′
′
′
′
′
′
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
xx
yx
zx
xy
yy
zy
xz
yz
zz
= −
′
′ ′
′ ′
′ ′
′
′ ′
′ ′
′ ′
ρ
u
u u u u
u u
u
u u
u u u
x
x y
x z
x y
y
y z
x z
y
2
2
u u
u
z
z ′
2
(8.26)
Pour un écoulement turbulent, aux contraintes laminaires sont ajoutées des contraintes
turbulentes dont le tenseur est donné par (8.26). Ce tenseur est appelé tenseur de contrainte de
Reynolds ou tenseur de contraintes apparentes. Le tenseur de contrainte total est donné par :
σ
μ
ρ
τ
μ
ρ
xx
x
x
xy
x
y
x
P
u
x
u
u
y
u
x
u
= − +
∂
∂
− ′
=
∂
∂
+
∂
∂
− ′
2
2
′ ′
u y
(8.27)
Pour un écoulement pleinement turbulent, les contraintes apparentes sont généralement très grandes devant les composantes visqueuses qui peuvent même être négligées
dans de nombreux calculs.
8.6 équaTions de couche limiTe TurbulenTe
sur une Plaque Plane
Pour un écoulement 2D sur une plaque plane, l’épaisseur de couche limite turbulente
est supposée être très petite devant la longueur de la plaque. Par une analyse d’ordre de
grandeur, on peut montrer que :
(i)
∂
∂
=
P
y
0 ;
(ii)
2
2
2
2
u
x
u
y
x
x
;
(iii)
∂ − ′
(
)
∂
∂ − ′ ′
(
)
∂
u
x
u u
y
x
x y
2
.
Les équations de couche limite turbulente ainsi que l’équation de continuité peuvent
alors s’écrire :
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
x
y
0
(8.28)
9782100549337-Livre.indb 197
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
ρ
μ
ρ
τ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
z
x
z
y
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x xz
yz
zz
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
τ
σ
(8.25)
Le tenseur de contrainte turbulent peut s’écrire sous la forme suivante :
′
′
′
′
′
′
′
′
′
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
xx
yx
zx
xy
yy
zy
xz
yz
zz
= −
′
′ ′
′ ′
′ ′
′
′ ′
′ ′
′ ′
ρ
u
u u u u
u u
u
u u
u u u
x
x y
x z
x y
y
y z
x z
y
2
2
u u
u
z
z ′
2
(8.26)
Pour un écoulement turbulent, aux contraintes laminaires sont ajoutées des contraintes
turbulentes dont le tenseur est donné par (8.26). Ce tenseur est appelé tenseur de contrainte de
Reynolds ou tenseur de contraintes apparentes. Le tenseur de contrainte total est donné par :
σ
μ
ρ
τ
μ
ρ
xx
x
x
xy
x
y
x
P
u
x
u
u
y
u
x
u
= − +
∂
∂
− ′
=
∂
∂
+
∂
∂
− ′
2
2
′ ′
u y
(8.27)
Pour un écoulement pleinement turbulent, les contraintes apparentes sont généralement très grandes devant les composantes visqueuses qui peuvent même être négligées
dans de nombreux calculs.
8.6 équaTions de couche limiTe TurbulenTe
sur une Plaque Plane
Pour un écoulement 2D sur une plaque plane, l’épaisseur de couche limite turbulente
est supposée être très petite devant la longueur de la plaque. Par une analyse d’ordre de
grandeur, on peut montrer que :
(i)
∂
∂
=
P
y
0 ;
(ii)
2
2
2
2
u
x
u
y
x
x
;
(iii)
∂ − ′
(
)
∂
∂ − ′ ′
(
)
∂
u
x
u u
y
x
x y
2
.
Les équations de couche limite turbulente ainsi que l’équation de continuité peuvent
alors s’écrire :
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
x
y
0
(8.28)
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