Chapitre8•Turbulence
196
Les composantes de vitesse moyenne et fluctuante vérifient chacune l’équation de
continuité. Imaginons un écoulement 2D dans lequel les composantes turbulentes sont
indépendantes de z. L’équation donne alors :
∂ ′
∂
= −
∂ ′
∂
u
x
u
y
x
y
(8.18)
La relation nous indique que, s’il y a une augmentation de
u x dans la direction x, il y
aura une augmentation de
u y dans la direction négative de y. En d’autres termes,
u u
x y
est non-nul et négatif.
On reporte (8.11) dans (8.14) tout en utilisant les relations (8.12)-(8.13) et les postulats
suivants : (i) les termes linéaires tels que ∂ ′ ∂
u x
x
, ∂ ′ ∂
u x
y
… s’annulent lorsqu’ils sont
moyennés (d’après (8.8)), (ii) il en est de même pour les produits mixtes de type u u
x
y
⋅ ′,
u u
x
z
⋅ ′… Mais les termes quadratiques restent, tels que
u x
2 ou
u u
x y . Par exemple sur
l’équation du mouvement en x et en appliquant la moyenne, on obtient :
ρ
∂ + ′
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
(
) + ′
(
)
∂
+
∂
u
u
t
u
u
x
u
u u
u
y
u
x
x
x
x
x
x
y
y
x
2
+ + ′
(
) + ′
(
)
∂
= −
∂ + ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
u u
u
z
P P
x
u
u
x
z
z
x
x
μ
2
( (
)
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
x
u
u
y
u
u
z
x
x
x
x
2
2
2
2
2
(8.19)
Ce qui donne finalement :
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
x
y
x
z
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x x
x y
x z
x
u u
y
u u
z
2
∂
+
∂ ′ ′
∂
+
∂ ′ ′
∂
(8.20)
Et sur les composantes y et z :
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
y
y
y
z
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
u u y
y
y z
u
x
u
y
u u
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′ ′
∂
2
(8.21)
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
z
y
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
u u z
y z
z
u
x
u u
y
u
z
′
∂
+
∂ ′ ′
∂
+
∂ ′
∂
2
(8.22)
Les équations (8.20)-(8.22) sont similaires aux équations de Navier-Stokes vues au
Chapitre 5 sauf que les composantes de vitesse u x , u y et u z sont remplacées par u x , u y et
u z et que ces équations contiennent des termes additionnels qui dépendent des quantités
turbulentes fluctuantes. On peut écrire les équations (8.20)-(8.22) comme :
ρ
μ
ρ
σ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
x
x
y
x
z
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x x
xy
xz
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
τ
τ
(8.23)
ρ
μ
ρ
τ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
y
x
y
y
y
z
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x xy
yy
zy
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
σ
τ
(8.24)
9782100549337-Livre.indb 196
31/07/11 13:03
196
Les composantes de vitesse moyenne et fluctuante vérifient chacune l’équation de
continuité. Imaginons un écoulement 2D dans lequel les composantes turbulentes sont
indépendantes de z. L’équation donne alors :
∂ ′
∂
= −
∂ ′
∂
u
x
u
y
x
y
(8.18)
La relation nous indique que, s’il y a une augmentation de
u x dans la direction x, il y
aura une augmentation de
u y dans la direction négative de y. En d’autres termes,
u u
x y
est non-nul et négatif.
On reporte (8.11) dans (8.14) tout en utilisant les relations (8.12)-(8.13) et les postulats
suivants : (i) les termes linéaires tels que ∂ ′ ∂
u x
x
, ∂ ′ ∂
u x
y
… s’annulent lorsqu’ils sont
moyennés (d’après (8.8)), (ii) il en est de même pour les produits mixtes de type u u
x
y
⋅ ′,
u u
x
z
⋅ ′… Mais les termes quadratiques restent, tels que
u x
2 ou
u u
x y . Par exemple sur
l’équation du mouvement en x et en appliquant la moyenne, on obtient :
ρ
∂ + ′
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
(
) + ′
(
)
∂
+
∂
u
u
t
u
u
x
u
u u
u
y
u
x
x
x
x
x
x
y
y
x
2
+ + ′
(
) + ′
(
)
∂
= −
∂ + ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
u u
u
z
P P
x
u
u
x
z
z
x
x
μ
2
( (
)
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
+
∂
+ ′
(
)
∂
x
u
u
y
u
u
z
x
x
x
x
2
2
2
2
2
(8.19)
Ce qui donne finalement :
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
x
y
x
z
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x x
x y
x z
x
u u
y
u u
z
2
∂
+
∂ ′ ′
∂
+
∂ ′ ′
∂
(8.20)
Et sur les composantes y et z :
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
y
y
y
z
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
u u y
y
y z
u
x
u
y
u u
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′ ′
∂
2
(8.21)
ρ
μ
ρ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
u
x
z
y
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
u u z
y z
z
u
x
u u
y
u
z
′
∂
+
∂ ′ ′
∂
+
∂ ′
∂
2
(8.22)
Les équations (8.20)-(8.22) sont similaires aux équations de Navier-Stokes vues au
Chapitre 5 sauf que les composantes de vitesse u x , u y et u z sont remplacées par u x , u y et
u z et que ces équations contiennent des termes additionnels qui dépendent des quantités
turbulentes fluctuantes. On peut écrire les équations (8.20)-(8.22) comme :
ρ
μ
ρ
σ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
x
x
x
y
x
z
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x x
xy
xz
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
τ
τ
(8.23)
ρ
μ
ρ
τ
u
u
u
u
u
u
u
x
y
z
P
y
x
y
y
y
z
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
−
∂ ′
Δ
x xy
yy
zy
x
y
z
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
σ
τ
(8.24)
9782100549337-Livre.indb 196
31/07/11 13:03