8.5•Équationspourunécoulementturbulent
195
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
I
u U
x
=
′
∞
2
. La décomposition de Reynolds permet de séparer un mouvement turbulent en une partie moyenne et une autre fluctuante. On peut donc écrire avec les notations
précédentes :
u
u
u
u u
u
u
u
u
x
x
y
y
z
z
x
y
z
=
+ ′
=
+ ′
=
+ ′
,
,
(8.11)
Par définition, les moyennes temporelles de toutes les quantités décrivant les fluctuations sont nulles: ′ =
u x 0, ′ =
u y 0, ′ =
u z 0 et ′ =
p 0. Les fluctuations
u x ,
u y et
u z
contribuent à une augmentation de la résistance à la déformation. En d’autres termes,
l’effet des fluctuations a tendance à augmenter la viscosité. Si f et g sont deux variables
dépendantes et s représentant la variable d’espace (x, y, z ou t) alors :
f g f g
+ = + ; f g f g
⋅ = ⋅
(8.12)
∂
∂
=
∂
∂
f
s
f
s
; ∫
∫
=
f s
f s
d
d
(8.13)
8.5 équaTions Pour un écoulemenT TurbulenT
Si on considère le cas d’écoulements incompressibles et sans force de volume (gravité),
les équations de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes peuvent être écrites sous la
forme non-conservative suivante (voir Chapitre 5) :
ρ
∂
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ (
)
∂
= −
∂
u
t
u
x
u u
y
u u
z
P
x
x
x y
x z
2
∂ ∂
+
∂
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ (
)
∂
x
u
u
t
u u
x
u
y
u u
z
x
y
x y
y
y z
μ
ρ
Δ
2
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ (
)
∂
P
y
u
u
t
u u
x
u u
y
y
z
x z
y z
μ
ρ
Δ
+ +
∂ ( )
∂
= −
∂
∂
+
u
z
P
z
u
z
z
2
μ Δ
(8.14)
et :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.15)
En reportant (8.11) dans (8.15) et en prenant la moyenne on obtient, d’après (8.6), pour
l’équation de continuité :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.16)
Les équations (8.15) et (8.16) entraînent par ailleurs :
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.17)
9782100549337-Livre.indb 195
31/07/11 13:03
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
I
u U
x
=
′
∞
2
. La décomposition de Reynolds permet de séparer un mouvement turbulent en une partie moyenne et une autre fluctuante. On peut donc écrire avec les notations
précédentes :
u
u
u
u u
u
u
u
u
x
x
y
y
z
z
x
y
z
=
+ ′
=
+ ′
=
+ ′
,
,
(8.11)
Par définition, les moyennes temporelles de toutes les quantités décrivant les fluctuations sont nulles: ′ =
u x 0, ′ =
u y 0, ′ =
u z 0 et ′ =
p 0. Les fluctuations
u x ,
u y et
u z
contribuent à une augmentation de la résistance à la déformation. En d’autres termes,
l’effet des fluctuations a tendance à augmenter la viscosité. Si f et g sont deux variables
dépendantes et s représentant la variable d’espace (x, y, z ou t) alors :
f g f g
+ = + ; f g f g
⋅ = ⋅
(8.12)
∂
∂
=
∂
∂
f
s
f
s
; ∫
∫
=
f s
f s
d
d
(8.13)
8.5 équaTions Pour un écoulemenT TurbulenT
Si on considère le cas d’écoulements incompressibles et sans force de volume (gravité),
les équations de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes peuvent être écrites sous la
forme non-conservative suivante (voir Chapitre 5) :
ρ
∂
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ (
)
∂
= −
∂
u
t
u
x
u u
y
u u
z
P
x
x
x y
x z
2
∂ ∂
+
∂
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ (
)
∂
x
u
u
t
u u
x
u
y
u u
z
x
y
x y
y
y z
μ
ρ
Δ
2
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂ (
)
∂
+
∂ (
)
∂
P
y
u
u
t
u u
x
u u
y
y
z
x z
y z
μ
ρ
Δ
+ +
∂ ( )
∂
= −
∂
∂
+
u
z
P
z
u
z
z
2
μ Δ
(8.14)
et :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.15)
En reportant (8.11) dans (8.15) et en prenant la moyenne on obtient, d’après (8.6), pour
l’équation de continuité :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.16)
Les équations (8.15) et (8.16) entraînent par ailleurs :
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.17)
9782100549337-Livre.indb 195
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