8.4•Fonctionsdecorrélation,mouvementmoyenetfluctuations
193
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En général, pour la vitesse eulérienne u x , il existe deux méthodes de prise de moyenne
qui conduisent à :
• une moyenne temporelle pour de la turbulence stationnaire :
u x
T
u t t
t
x
t
T
t
T
x
0
1 2
1 2
1
( ) =
′
( ) ′
−
−
∫
/
/
d
• une moyenne spatiale pour de la turbulence homogène :
u t
x
u x x
e
x
x
x
x
x
x
0
1 2
1 2
1
0
0
( ) =
′
( ) ′
−
+
∫
/
/
d
Dans le cas d’une turbulence homogène et stationnaire, on peut montrer que les deux
moyennes sont identiques et que cette hypothèse est connue sous le nom de condition
d’ergodicité.
Prenons le cas d’un écoulement à droites parallèles dans un tube par exemple, la
vitesse axiale suivant le tube peut être écrite sous la forme suivante :
u y t
u y u
x
x
x
,
,
( ) = ( ) + ′ ( )
Γ t
(8.2)
où G peut être n’importe quelle variable de l’espace. La composante moyenne u y
x ( ) donne
une information sur la nature de l’écoulement : est-il stationnaire ou instationnaire ?
Prenons le cas d’écoulements turbulents de la Figure 8.5a) stationnaire en moyenne et
de la Figure 8.5.b) instationnaire et périodique en moyenne. Le temps t 1 correspond à la
période de la fluctuation de la vitesse pour les hautes fréquences et t 2 à la période basse
fréquence de l’écoulement instationnaire en moyenne (t 2 >>t 1 ). Même si le mouvement est
dans la direction axiale, la fluctuation de vitesse u’ étant aléatoire, elle varie en fait dans
toutes les directions. Prenons le cas de l’équation de continuité :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.3)
En substituant l’expression (8.2) dans l’équation (8.3), on obtient :
∂
∂
+
∂ ′
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
x
u
y
u
z
x
x
y
z
0
(8.4)
Puisque ∂ ′ ∂ ≠
u x
x
0, l’équation nous dit que les composantes de la vitesse existent
même pour cet écoulement parallèle lorsque l’écoulement est turbulent. On peut donc
écrire :
u y t
u y u
u
u
u
u
x
x
x
y
y
z
z
,
,
,
,
( ) = ( ) + ′ ( )
= + ′ ( )
= + ′ (
Γ
Γ
Γ
t
t
t
0
0
) )
(8.5)
Cependant les composantes fluctuantes ne contribuent pas au déplacement de l’élément de fluide. Le déplacement instantané étant
u t
x d , on a donc :
−
∫ ′ =
T
T
x
u t
d
0 pour t
T
t
1
2
< ≤
9782100549337-Livre.indb 193
31/07/11 13:03
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En général, pour la vitesse eulérienne u x , il existe deux méthodes de prise de moyenne
qui conduisent à :
• une moyenne temporelle pour de la turbulence stationnaire :
u x
T
u t t
t
x
t
T
t
T
x
0
1 2
1 2
1
( ) =
′
( ) ′
−
−
∫
/
/
d
• une moyenne spatiale pour de la turbulence homogène :
u t
x
u x x
e
x
x
x
x
x
x
0
1 2
1 2
1
0
0
( ) =
′
( ) ′
−
+
∫
/
/
d
Dans le cas d’une turbulence homogène et stationnaire, on peut montrer que les deux
moyennes sont identiques et que cette hypothèse est connue sous le nom de condition
d’ergodicité.
Prenons le cas d’un écoulement à droites parallèles dans un tube par exemple, la
vitesse axiale suivant le tube peut être écrite sous la forme suivante :
u y t
u y u
x
x
x
,
,
( ) = ( ) + ′ ( )
Γ t
(8.2)
où G peut être n’importe quelle variable de l’espace. La composante moyenne u y
x ( ) donne
une information sur la nature de l’écoulement : est-il stationnaire ou instationnaire ?
Prenons le cas d’écoulements turbulents de la Figure 8.5a) stationnaire en moyenne et
de la Figure 8.5.b) instationnaire et périodique en moyenne. Le temps t 1 correspond à la
période de la fluctuation de la vitesse pour les hautes fréquences et t 2 à la période basse
fréquence de l’écoulement instationnaire en moyenne (t 2 >>t 1 ). Même si le mouvement est
dans la direction axiale, la fluctuation de vitesse u’ étant aléatoire, elle varie en fait dans
toutes les directions. Prenons le cas de l’équation de continuité :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
(8.3)
En substituant l’expression (8.2) dans l’équation (8.3), on obtient :
∂
∂
+
∂ ′
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
x
u
y
u
z
x
x
y
z
0
(8.4)
Puisque ∂ ′ ∂ ≠
u x
x
0, l’équation nous dit que les composantes de la vitesse existent
même pour cet écoulement parallèle lorsque l’écoulement est turbulent. On peut donc
écrire :
u y t
u y u
u
u
u
u
x
x
x
y
y
z
z
,
,
,
,
( ) = ( ) + ′ ( )
= + ′ ( )
= + ′ (
Γ
Γ
Γ
t
t
t
0
0
) )
(8.5)
Cependant les composantes fluctuantes ne contribuent pas au déplacement de l’élément de fluide. Le déplacement instantané étant
u t
x d , on a donc :
−
∫ ′ =
T
T
x
u t
d
0 pour t
T
t
1
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< ≤
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