Chapitre8•Turbulence
192
dans un tube cylindrique, la turbulence est généralement observée pour un Reynolds (
Re U D
= ∞ ) entre de 2000 et 2700.
8.4 foncTions de corrélaTion, mouvemenT moyen
eT flucTuaTions
En turbulence, une corrélation statistique peut être appliquée en termes de fluctuation de
vitesse. Par définition, le mouvement turbulent est un mouvement formé d’un ensemble
de tourbillons. Un fort degré de corrélation existe entre les vitesses en deux points de
l’espace si la distance entre ces points est plus petite que le diamètre du tourbillon.
On considère une propriété statistique d’une variable aléatoire (vitesse suivant x par
exemple) en deux points séparés par la distance r. La corrélation en ces deux points est
définie par ′ ( ) ′ +
u x u x r
x
x
(
). En d’autres termes, la dépendance entre ces deux vitesses
aux deux points considérés est mesurée par des corrélations, c’est-à-dire les moyennes
temporelles des produits de ces quantités prises aux deux points. Conventionnellement,
on utilise la forme adimensionnelle de la corrélation :
R r
u x u x r
u x u x r
x
x
x
x
( )
(
)
/
=
′ ( ) ′ +
′ ( ) ′
+
(
)
(
)
2
2
1 2
(8.1)
L’interprétation de l’équation est primordiale dans la compréhension des phénomènes
physiques de la statistique de la turbulence. La valeur de R(r) égale à l’unité signifie une
corrélation parfaite de ces deux quantités et les mouvements des points concernés sont
en phase. Une valeur négative de la fonction de corrélation implique que le signe est différent de la moyenne en temps des vitesses en ces deux points corrélés. Un exemple de
l’évolution de R(r) est montré sur la figure 8.4.
En 1883, O. Reynolds a conduit des expériences dans le cas d’un écoulement dans un
tube en y adjoignant du colorant. Pour de faibles nombres de Reynolds, le colorant a suivi
une ligne droite sans dispersion. En augmentant le débit (donc la vitesse), le colorant s’est
mélangé dans toutes les directions et le fluide s’est vu entièrement colorié en aval. Il a été
postulé qu’il existait un mouvement perpendiculaire superposé au mouvement principal
dans la direction axiale. Ce mouvement superposé engendre un échange de quantité de
mouvement dans la direction transverse et par conséquent la distribution des vitesses dans
cette direction est plus uniforme que dans le cas laminaire (voir Figure 8.2). Cette description permet d’effectuer la décomposition de Reynolds que nous allons expliciter ci-dessous.
R r
( )
1
0
r
Figure8.4–VariationdeR(r)
enfonctiondeladistancer.
9782100549337-Livre.indb 192
31/07/11 13:03
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dans un tube cylindrique, la turbulence est généralement observée pour un Reynolds (
Re U D
= ∞ ) entre de 2000 et 2700.
8.4 foncTions de corrélaTion, mouvemenT moyen
eT flucTuaTions
En turbulence, une corrélation statistique peut être appliquée en termes de fluctuation de
vitesse. Par définition, le mouvement turbulent est un mouvement formé d’un ensemble
de tourbillons. Un fort degré de corrélation existe entre les vitesses en deux points de
l’espace si la distance entre ces points est plus petite que le diamètre du tourbillon.
On considère une propriété statistique d’une variable aléatoire (vitesse suivant x par
exemple) en deux points séparés par la distance r. La corrélation en ces deux points est
définie par ′ ( ) ′ +
u x u x r
x
x
(
). En d’autres termes, la dépendance entre ces deux vitesses
aux deux points considérés est mesurée par des corrélations, c’est-à-dire les moyennes
temporelles des produits de ces quantités prises aux deux points. Conventionnellement,
on utilise la forme adimensionnelle de la corrélation :
R r
u x u x r
u x u x r
x
x
x
x
( )
(
)
/
=
′ ( ) ′ +
′ ( ) ′
+
(
)
(
)
2
2
1 2
(8.1)
L’interprétation de l’équation est primordiale dans la compréhension des phénomènes
physiques de la statistique de la turbulence. La valeur de R(r) égale à l’unité signifie une
corrélation parfaite de ces deux quantités et les mouvements des points concernés sont
en phase. Une valeur négative de la fonction de corrélation implique que le signe est différent de la moyenne en temps des vitesses en ces deux points corrélés. Un exemple de
l’évolution de R(r) est montré sur la figure 8.4.
En 1883, O. Reynolds a conduit des expériences dans le cas d’un écoulement dans un
tube en y adjoignant du colorant. Pour de faibles nombres de Reynolds, le colorant a suivi
une ligne droite sans dispersion. En augmentant le débit (donc la vitesse), le colorant s’est
mélangé dans toutes les directions et le fluide s’est vu entièrement colorié en aval. Il a été
postulé qu’il existait un mouvement perpendiculaire superposé au mouvement principal
dans la direction axiale. Ce mouvement superposé engendre un échange de quantité de
mouvement dans la direction transverse et par conséquent la distribution des vitesses dans
cette direction est plus uniforme que dans le cas laminaire (voir Figure 8.2). Cette description permet d’effectuer la décomposition de Reynolds que nous allons expliciter ci-dessous.
R r
( )
1
0
r
Figure8.4–VariationdeR(r)
enfonctiondeladistancer.
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