Chapitre7•Analysedimensionnelleetprincipedesimilitude
184
(7.1)
1.On dénombre 5 variables : P, N, D, r et m  F P N D
,  ,  ,  , 
ρ μ
(
) = 0. On a 3 dimensions fondamentales pour décrire ce problème : M, L et T. Il y a donc 5–3 = 2 nombres
p. On choisit 3 quantités dimensionnellement indépendantes : N, D et r. Par conséquent :
π
ρ
π
μ
ρ
1
2
=
=



 
P N D
N D
a b c
a b c
 
 
Les dimensions de P et m sont  : P
Force Vitesse
[ ] = [
][
] =
=
−
−
−
MLT  LT
ML T
2
1
2
3 et
μ
ν ρ
[ ] = [ ][ ] =
=
−
−
− −
L T ML   ML T
2
1
3
1 1 . D’où :
M L T
T
L ML
ML T
M L T
T
L ML
0 0 0
0 0 0
= ( ) (
)
= ( )
−
−
−
−
−
1
3
2
3
1
3
a b
c
a b ( (
)
( )
( )



 
− −
c ML T
1 1
1
2
1
( ) 
0
1
0
3
2
0
3
= +
= − +
= − −





c
b
c
a

a
b
c
= −
= −
= −



 
3
5
1
et 2
( ) 
0
1
0
3 1
0
1
= +
= − −
= − −





c
b
c
a

a
b
c
= −
= −
= −



 
1
2
1
D’où :  
 
 
π
ρ
π
μ
ρ
1
3
5
1
2
1
2
1
=
=



 
−
− −
−
− −
P N D
N D
 f
P
N D
ND
ρ
μ
ρ
3 5
2
0
, 





 =
Et donc : ψ ρ
ρ
μ
P
N D
ND
3 5
2
0
, 





 =
Ceci entraîne
P
N D
ND
ρ
ϕ
ρ
μ
3 5
2
=






Par conséquent : P
N D
N D
=
(
)
ρ
ϕ ρ
μ
3 5
2
 
2.On a :
ρ
μ
ρ
μ
2 2 2
2
2
1 1 1
2
1
N D
N D

 N
N
D
D
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
23
1 86
1 01
10
225
675
=






=
×
(
−
μ
μ
ρ
ρ
,
,
) ) ×
2
3
10
1 2
,
⇒
=
N 2 39 2
,  tr/s
et
P
N D
P
N D
2
2 2
3 2
5
1
1 1
3 1
5



⇒
=












  P
P
N
N
D
D
2
1
2
1
2
1
3
2
1
5


 C
C
N
N
D
D
2 2
1 1
2
1
2
1
3
2
1
5
ω
ω
ρ
ρ
=












Solutions
9782100549337-Livre.indb 184
31/07/11 13:03