Chapitre7•Analysedimensionnelleetprincipedesimilitude
182
r, U et d comme 3 variables physiques dimensionnellement indépendantes. Le premier
groupement sans dimension p, formé avec T donne :
π
ρ
1
1
1
1
1
1
=
= [
][
] [
] [ ]
−
−
−
T
U d
a b c
a
b
 
 
 
L M T
L  M
L T
L
2
3
1
c c
a b c
a
b
1
1
1
1
1
1
1 3
1
2
= − + +
+
− −
L
M T
Et donc suivant les 3 unités [L, M, T], on obtient :
L
M
T
:   
:   
:   
1 3
0
1
0
2
0
1
1
1
1
1
−
+ + =
+ =
− − =





a b c
a
b
La résolution du système ci-dessus donne : a
b
c
1
1
1
1
2
2
= −
= −
= −
;  
;  
d
U
Figure7.2–Écoulementautourd’unesphère.
D’où π
ρ
1
2 2
=
≡
T U d
C D
 
. Ce nombre p représente en fait le coefficient de traînée pour
un écoulement autour d’un obstacle (ici autour d’une sphère, voir chapitre 10)
Le deuxième groupement p sans dimension peut être déterminé par :
π
μ ρ
2
2
2
2
2
2
=
= [
][
] [
] [ ]
− −
−
−
 
 
a
b c
a
b
U d
ML T L  M
L T   L
1 1
3
1
c c
a b c
a
b
2
2
2
2
2
2
1 3
1
1
= − − + +
+
− −
L
M
T
Et donc suivant les 3 unités [L, M, T], on obtient :
L
M
T
:  
:   
:   
− −
+
+
=
+
=
− −
=





1 3
0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
La résolution du système ci-dessus donne : a
b
c
2
2
2
1
1
1
= −
= −
= −
;  
;  
D’où π
μ ρ
ν
2
1
=
=
≡
Ud
Ud
Re
 
 
. Ce nombre p représente l’inverse du nombre
de Reynolds. Notre analyse dimensionnelle de l’écoulement autour d’une sphère a
montré que le coefficient de traînée dépend du nombre de Reynolds de l’écoulement :
C
f Re
D = ( ).
9782100549337-Livre.indb 182
31/07/11 13:03