7.4•Exemplesd’application
181
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Donc :
π
ρ
π
ρ
μ
π
ρ
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
=
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
U
D
P
U
D
U
D
Δ
h
U
D l
a
b
c
π
ρ
4
4
4
4
=
Or
[ ] =
−
M L 3 ; U
[ ] =
−
L T 1 ; D
[ ] = L ; ΔP
[ ] =
− −
M L T
1 2 ; μ
[ ] =
−
−
M L T
1
1 ;
h
[ ] = L ; l
[ ] = L. Par conséquent pour le nombre sans dimensions p 1 , on écrit :
M L T = M L
L T
L M L T
3
1
1
2
0 0 0
1
1
1
−
−
−
−
(
) (
)
(
)
a
b
c
D’où le système linéaire suivant à résoudre :
0
1
0
3
1
0
2
1
1
1
1
1
= +
= −
+ + −
= − −
a
a b c
b
a
c
b
1
1
1
1
0
2
= −
=
= −
Avec la même démarche, on obtient pour les autres nombres sans dimension p :
a
a
a
b
b
b
c
c
c
2
3
4
2
3
4
2
3
4
1
0
0
1
0
0
1
1
1
= −
=
=
= −
=
=
= −
= −
= −
;
;
;
;
;
;
Par conséquent, les nombres p s’obtiennent par :
π
ρ
1
2
=
ΔP
U
; π
μ
ρ
2 UD
; 3
h
D
; 4
l
D
Soit en écrivant
1
2
3
4
= (
)
f
, , , on obtient la relation suivante :
ΔP
U
f UD
h
D
l
D
ρ
μ
ρ
2
=
, ,
Or ρ
μ
U D
Re
(nombre de Reynolds) et ΔP U
Eu
2 =
Eu f Re h D l D
= (
)
,
,
est la relation liant les différents nombres p déterminés par la méthode de Pi-Buckingham ; h/D représente ici la rugosité relative.
7.4.2Écoulementincompressibleautourd’unesphère
On considère la résistance d’une sphère placée dans un écoulement uniforme comme
montré sur la figure 7.2. Dans ce cas les effets des forces de gravité pourront être négligés devant les effets inertiels. Les quantités physiques influençant la traînée T de cette
sphère sont : le diamètre d de la sphère, la vitesse U de l’écoulement autour de cette
sphère, la masse volumique r et la viscosité dynamique m. Dans ce cas, n = 5, p = 3 et
par conséquent, il y a (n–p) = 5–3 = 2 groupements p sans dimension. On sélectionne
9782100549337-Livre.indb 181
31/07/11 13:03
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Donc :
π
ρ
π
ρ
μ
π
ρ
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
=
=
=
a
b
c
a
b
c
a
b
c
U
D
P
U
D
U
D
Δ
h
U
D l
a
b
c
π
ρ
4
4
4
4
=
Or
[ ] =
−
M L 3 ; U
[ ] =
−
L T 1 ; D
[ ] = L ; ΔP
[ ] =
− −
M L T
1 2 ; μ
[ ] =
−
−
M L T
1
1 ;
h
[ ] = L ; l
[ ] = L. Par conséquent pour le nombre sans dimensions p 1 , on écrit :
M L T = M L
L T
L M L T
3
1
1
2
0 0 0
1
1
1
−
−
−
−
(
) (
)
(
)
a
b
c
D’où le système linéaire suivant à résoudre :
0
1
0
3
1
0
2
1
1
1
1
1
= +
= −
+ + −
= − −
a
a b c
b
a
c
b
1
1
1
1
0
2
= −
=
= −
Avec la même démarche, on obtient pour les autres nombres sans dimension p :
a
a
a
b
b
b
c
c
c
2
3
4
2
3
4
2
3
4
1
0
0
1
0
0
1
1
1
= −
=
=
= −
=
=
= −
= −
= −
;
;
;
;
;
;
Par conséquent, les nombres p s’obtiennent par :
π
ρ
1
2
=
ΔP
U
; π
μ
ρ
2 UD
; 3
h
D
; 4
l
D
Soit en écrivant
1
2
3
4
= (
)
f
, , , on obtient la relation suivante :
ΔP
U
f UD
h
D
l
D
ρ
μ
ρ
2
=
, ,
Or ρ
μ
U D
Re
(nombre de Reynolds) et ΔP U
Eu
2 =
Eu f Re h D l D
= (
)
,
,
est la relation liant les différents nombres p déterminés par la méthode de Pi-Buckingham ; h/D représente ici la rugosité relative.
7.4.2Écoulementincompressibleautourd’unesphère
On considère la résistance d’une sphère placée dans un écoulement uniforme comme
montré sur la figure 7.2. Dans ce cas les effets des forces de gravité pourront être négligés devant les effets inertiels. Les quantités physiques influençant la traînée T de cette
sphère sont : le diamètre d de la sphère, la vitesse U de l’écoulement autour de cette
sphère, la masse volumique r et la viscosité dynamique m. Dans ce cas, n = 5, p = 3 et
par conséquent, il y a (n–p) = 5–3 = 2 groupements p sans dimension. On sélectionne
9782100549337-Livre.indb 181
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