Chapitre7•Analysedimensionnelleetprincipedesimilitude
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Si l’écoulement est de type Bernoulli, la pression P 0 peut être approximée comme V 2
(ou U 2 2) et le nombre d’Euler peut être éliminé des conditions de similitude.
Le nombre de Froude, qui apparaît à cause de la gravité est important pour des problèmes avec une surface libre. On peut citer comme exemples, l’étude d’écoulements
dans des rivières, l’écoulement autour des piles de ponts ou l’étude de la traînée autour
de bateaux. Dans ces exemples, la forme de la surface libre est influencée par la gravité
et donc le nombre de Froude devient un paramètre important. Cependant, s’il n’y pas
de surface libre, le seul effet de la gravité est de superposer une distribution de pression
hydrostatique sur la distribution de pression créée par le mouvement du fluide. Mais cette
distribution de pression hydrostatique peut être éliminée des équations en définissant une
nouvelle pression ′ = −
p
p
g y
et avec ce changement, le nombre de Froude n’apparaît
plus dans les équations sans dimension.
En conclusion de cette discussion, pour un écoulement stationnaire d’un fluide
incompressible sans surfaces libres, il n’existe qu’une similitude de Reynolds (pour des
systèmes géométriquement similaires). Lorsqu’une surface libre existe et si les effets de
tension de surface ne sont pas négligeables alors son effet apparaîtra dans la condition
aux limites de la surface libre et donc un nombre adimensionnel supplémentaire (nombre
de Weber, ρ
σ
U 2 , où est la tension de surface vue précédemment) apparaîtra dans
l’analyse de similitude. De plus, si des fluides compressibles étaient considérés, alors le
nombre de Mach (U c) fera partie d’un nombre sans dimension additionnel.
7.4 exemPles d’aPPlicaTion
7.4.1Écoulementincompressibledansuneconduite
cylindrique
On considère un écoulement incompressible dans une conduite cylindrique (voir
Figure 7.1). On cherche à déterminer les nombres sans dimension qui caractérisent cet
écoulement.
l
U
1
2
D
DP
Figure7.1–Écoulementdansuneconduitecylindrique.
On dénombre n = 7 grandeurs :ΔP, , μ, D, U, h, l (h représente ici la hauteur de la
rugosité) et p = 3 ; il y a donc (n–p) = (7–3) = 4 paramètres p.
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Si l’écoulement est de type Bernoulli, la pression P 0 peut être approximée comme V 2
(ou U 2 2) et le nombre d’Euler peut être éliminé des conditions de similitude.
Le nombre de Froude, qui apparaît à cause de la gravité est important pour des problèmes avec une surface libre. On peut citer comme exemples, l’étude d’écoulements
dans des rivières, l’écoulement autour des piles de ponts ou l’étude de la traînée autour
de bateaux. Dans ces exemples, la forme de la surface libre est influencée par la gravité
et donc le nombre de Froude devient un paramètre important. Cependant, s’il n’y pas
de surface libre, le seul effet de la gravité est de superposer une distribution de pression
hydrostatique sur la distribution de pression créée par le mouvement du fluide. Mais cette
distribution de pression hydrostatique peut être éliminée des équations en définissant une
nouvelle pression ′ = −
p
p
g y
et avec ce changement, le nombre de Froude n’apparaît
plus dans les équations sans dimension.
En conclusion de cette discussion, pour un écoulement stationnaire d’un fluide
incompressible sans surfaces libres, il n’existe qu’une similitude de Reynolds (pour des
systèmes géométriquement similaires). Lorsqu’une surface libre existe et si les effets de
tension de surface ne sont pas négligeables alors son effet apparaîtra dans la condition
aux limites de la surface libre et donc un nombre adimensionnel supplémentaire (nombre
de Weber, ρ
σ
U 2 , où est la tension de surface vue précédemment) apparaîtra dans
l’analyse de similitude. De plus, si des fluides compressibles étaient considérés, alors le
nombre de Mach (U c) fera partie d’un nombre sans dimension additionnel.
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7.4.1Écoulementincompressibledansuneconduite
cylindrique
On considère un écoulement incompressible dans une conduite cylindrique (voir
Figure 7.1). On cherche à déterminer les nombres sans dimension qui caractérisent cet
écoulement.
l
U
1
2
D
DP
Figure7.1–Écoulementdansuneconduitecylindrique.
On dénombre n = 7 grandeurs :ΔP, , μ, D, U, h, l (h représente ici la hauteur de la
rugosité) et p = 3 ; il y a donc (n–p) = (7–3) = 4 paramètres p.
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