7.3•Similitudebaséesurleséquationsdetransport
179
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les équations précédentes peuvent alors s’écrire en fonction de ces variables sans
dimension. Par exemple :
∂
∂
=
∂ (
)
∂ ( )
=
∂
∂
u
x
u U
x L
U
L
u
x
x
x
x
*
*
*
*
et
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
( ) =
∂
∂ ( )
∂
∂
=
∂
2
2
2
2
u
x
x
u
x
x L
U
L
u
x
U
L
x
x
x
*
*
*
u u
x
x
*
*
∂ 2 (7.16)
Les autres expressions qui apparaissent dans les équations peuvent être exprimées
d’une façon similaire. Les équations adimensionnelles peuvent alors s’écrire comme :
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
u
x
u
y
U u
t
U
L
u
u
x
y
x
x
*
*
*
*
*
0
2
ρ
τ
ρ
x x
y
y
x
u
u
y
P
L
p
x
U
L
*
*
*
*
*
*
*
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
0
2
μ
∂
∂
+
∂
∂
∂
2
2
2
2
u
x
u
y
U u
x
x
F
y
Il
*
*
*
*
*
ρ
τ
∂ ∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
U
L
u
u
x
u
u
y
F
x
y
y
y
Ic
*
*
*
*
*
*
*
ρ 2
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
P
L
p
y
U
L
v
x
F
F
P
V
0
2
2
2
2
*
*
*
*
μ
u u
y
g
y
F G
*
*
∂
−
2
ρ
Les termes apparaissant entre crochets contiennent les quantités de référence et peuvent être interprétés comme des forces par unité de volume mises en jeu, autrement dit
des densités volumiques de forces. Ces forces sont : F Il force d’inertie locale, F Ic force
d’inertie convective, F P force de pression, F V force de viscosité et F G force de gravité. On
divise les équations du mouvement du système par U L
2
pour obtenir :
L
U
u
t
u
u
x
u
u
y
P
x
x
x
y
x
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
*
*
*
*
*
*
*
*
0 0
2
2
2
2
2
ρ
μ
ρ
U
p
x
UL
u
x
u
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
*
*
*
*
*
*
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
L
U
u
t
u
u
x
u
u
y
y
x
y
y
y
τ
*
*
*
*
*
*
*
*
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
P
U
p
y
UL
u
x
y
0
2
2
2
2
ρ
μ
ρ
*
*
*
*
u u
y
gL
U
y
*
*
∂
−
2
2
(7.18)
Nous voyons que les termes entre crochets représentent des nombres sans dimension
connus : L U
est le nombre de Strouhal, P U
0
2
est le nombre d’Euler, g L U 2 est
l’inverse du nombre de Froude au carré et μ ρU L est l’inverse du nombre de Reynolds.
De cette analyse, il est clair que chacun de ces nombres sans dimension peut être interprété comme le rapport de deux forces. Il est à noter que ces variables sans dimension
apparaissent naturellement dans ces équations et qu’il est impossible d’en oublier, sauf
dans le cas où les équations initiales sont incorrectement écrites et/ou mal définies.
Le système d’équations (7.18) peut être réécrit avec ces nombres sans dimension
comme :
St
u
t
u
u
x
u
u
y
Eu
p
x
Re
u
x
x
x
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1 Δ x x
y
x
y
y
y
St
u
t
u
u
x
u
u
y
Eu
p
y
R
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
1
e e
u
Fr
y
Δ * −
1
2
(7.19)
(7.17)
9782100549337-Livre.indb 179
31/07/11 13:03
179
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les équations précédentes peuvent alors s’écrire en fonction de ces variables sans
dimension. Par exemple :
∂
∂
=
∂ (
)
∂ ( )
=
∂
∂
u
x
u U
x L
U
L
u
x
x
x
x
*
*
*
*
et
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
( ) =
∂
∂ ( )
∂
∂
=
∂
2
2
2
2
u
x
x
u
x
x L
U
L
u
x
U
L
x
x
x
*
*
*
u u
x
x
*
*
∂ 2 (7.16)
Les autres expressions qui apparaissent dans les équations peuvent être exprimées
d’une façon similaire. Les équations adimensionnelles peuvent alors s’écrire comme :
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
u
x
u
y
U u
t
U
L
u
u
x
y
x
x
*
*
*
*
*
0
2
ρ
τ
ρ
x x
y
y
x
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u
y
P
L
p
x
U
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*
*
*
*
*
*
*
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
0
2
μ
∂
∂
+
∂
∂
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2
2
2
2
u
x
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y
U u
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*
*
*
*
*
ρ
τ
∂ ∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
U
L
u
u
x
u
u
y
F
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y
y
y
Ic
*
*
*
*
*
*
*
ρ 2
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
P
L
p
y
U
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F
F
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0
2
2
2
2
*
*
*
*
μ
u u
y
g
y
F G
*
*
∂
−
2
ρ
Les termes apparaissant entre crochets contiennent les quantités de référence et peuvent être interprétés comme des forces par unité de volume mises en jeu, autrement dit
des densités volumiques de forces. Ces forces sont : F Il force d’inertie locale, F Ic force
d’inertie convective, F P force de pression, F V force de viscosité et F G force de gravité. On
divise les équations du mouvement du système par U L
2
pour obtenir :
L
U
u
t
u
u
x
u
u
y
P
x
x
x
y
x
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
*
*
*
*
*
*
*
*
0 0
2
2
2
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ρ
μ
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∂
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+
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*
*
*
*
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*
∂
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+
∂
∂
+
∂
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L
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y
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y
*
*
∂
−
2
2
(7.18)
Nous voyons que les termes entre crochets représentent des nombres sans dimension
connus : L U
est le nombre de Strouhal, P U
0
2
est le nombre d’Euler, g L U 2 est
l’inverse du nombre de Froude au carré et μ ρU L est l’inverse du nombre de Reynolds.
De cette analyse, il est clair que chacun de ces nombres sans dimension peut être interprété comme le rapport de deux forces. Il est à noter que ces variables sans dimension
apparaissent naturellement dans ces équations et qu’il est impossible d’en oublier, sauf
dans le cas où les équations initiales sont incorrectement écrites et/ou mal définies.
Le système d’équations (7.18) peut être réécrit avec ces nombres sans dimension
comme :
St
u
t
u
u
x
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∂
= −
∂
∂
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1
e e
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Fr
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1
2
(7.19)
(7.17)
9782100549337-Livre.indb 179
31/07/11 13:03