Chapitre7•Analysedimensionnelleetprincipedesimilitude
178
7.2.2Déterminationdestermesp
1
1
2
1
2
1
2
11
12
1
21
22
2
=
=
+
+
x x
x
x
x x
x
x
a
a
p
a
p
a
a
p
a
p
p
p
2 2
1
2
1
2
n p
a
a
p
a
p n p
x x
x
x
p
p
pp
−
+ −
=
(7.13)
Les nombres
1 , ,
n p
−
(
) sont sans dimensions ( M L T
0 0 0 ). On identifie les dimensions des paramètres x
x p
1 , ,
et on résout le système des (n–p) équations linéaires afin
de trouver les nombres
1 , ,
n p
−
(
).
7.3 similiTude basée sur les équaTions
de TransPorT
Bien que la simplicité de la précédente approche soit assez attractive, il n’en reste pas
moins que l’omission d’une ou plusieurs variables peut entraîner de sérieux problèmes
dans la conception du modèle. Une autre approche consiste à obtenir les lois de similitude directement à partir des équations de transport (continuité, mouvement, énergie…).
Considérons un écoulement incompressible d’un fluide newtonien. Afin de simplifier
l’écriture, on se limitera à un écoulement 2D en coordonnées cartésiennes bien que les
résultats soient applicables au cas 3D. Les équations de continuité et de Navier-Stokes
peuvent s’écrire (voir chapitre 5) :
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
u
x
u
y
u
t
u
u
x
u
u
y
p
x
x
y
x
x
x
y
x
0
ρ
+ +
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
μ
ρ
2
2
2
2
u
x
u
y
u
t
u
u
x
u
u
y
x
x
y
x
y
y
y
= −
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
p
y
u
x
u
y
g
y
y
μ
ρ
2
2
2
2
(7.14)
où l’axe y est vertical de telle sorte que la gravité n’apparaît que dans l’équation suivant y.
Ces équations sont accompagnées des conditions aux limites et conditions initiales données. On désire rendre ces équations sans dimension. Pour cela on choisit des quantités de
référence (ou caractéristiques) : vitesse U, pression P 0 , longueur L et temps t. Ces quantités
doivent être des paramètres du problème étudié. Par exemple la longueur L peut représenter
la dimension caractéristique d’un objet immergé dans un écoulement ou la largeur d’un
canal à travers duquel s’écoule un fluide. La vitesse peut être la vitesse d’entrée dans une
conduite par exemple. Les nouvelles variables sans dimension s’expriment par :
u
u
U
x
x
*
; u
u
U
y
y
*
; p
p
P
*
0
; x
x
L
*
; y
y
L
*
; t
t
*
(7.15)
9782100549337-Livre.indb 178
31/07/11 13:02
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x x
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x x
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a
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a
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x x
x
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p
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pp
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+ −
=
(7.13)
Les nombres
1 , ,
n p
−
(
) sont sans dimensions ( M L T
0 0 0 ). On identifie les dimensions des paramètres x
x p
1 , ,
et on résout le système des (n–p) équations linéaires afin
de trouver les nombres
1 , ,
n p
−
(
).
7.3 similiTude basée sur les équaTions
de TransPorT
Bien que la simplicité de la précédente approche soit assez attractive, il n’en reste pas
moins que l’omission d’une ou plusieurs variables peut entraîner de sérieux problèmes
dans la conception du modèle. Une autre approche consiste à obtenir les lois de similitude directement à partir des équations de transport (continuité, mouvement, énergie…).
Considérons un écoulement incompressible d’un fluide newtonien. Afin de simplifier
l’écriture, on se limitera à un écoulement 2D en coordonnées cartésiennes bien que les
résultats soient applicables au cas 3D. Les équations de continuité et de Navier-Stokes
peuvent s’écrire (voir chapitre 5) :
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
u
x
u
y
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t
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u
x
u
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x
x
x
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ρ
+ +
∂
∂
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∂
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+
∂
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∂
∂
μ
ρ
2
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x
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−
p
y
u
x
u
y
g
y
y
μ
ρ
2
2
2
2
(7.14)
où l’axe y est vertical de telle sorte que la gravité n’apparaît que dans l’équation suivant y.
Ces équations sont accompagnées des conditions aux limites et conditions initiales données. On désire rendre ces équations sans dimension. Pour cela on choisit des quantités de
référence (ou caractéristiques) : vitesse U, pression P 0 , longueur L et temps t. Ces quantités
doivent être des paramètres du problème étudié. Par exemple la longueur L peut représenter
la dimension caractéristique d’un objet immergé dans un écoulement ou la largeur d’un
canal à travers duquel s’écoule un fluide. La vitesse peut être la vitesse d’entrée dans une
conduite par exemple. Les nouvelles variables sans dimension s’expriment par :
u
u
U
x
x
*
; u
u
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y
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*
; p
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P
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0
; x
x
L
*
; y
y
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; t
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