7.2•ThéorèmedeVashy-Buckingham
177
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Exemple :
La contrainte visqueuse a les dimensions suivantes :
=
=
×
[
]
Force
Surface
Masse Accélération
Surfa ace
M L T
L
=M L T
2
2
1
2
[
]
=
−
−
−
et la viscosité (sachant que la contrainte visqueuse τ μ
∝ (
)
d d
U y )
μ
τ
=
=
−
−
−
−
d d
M L T
L
T
1
L
=M L T
1
2
1
1
U y
7.2 Théorème de vashy-buckingham
ThéorèmedeVashy-Buckingham
Si un phénomène physique fait intervenir n grandeurs E 1 , E 2 , …, E n qui se mesurent
avec « p » unités indépendantes, alors une relation f(E 1 , E 2 , …, E n ) = 0 peut se mettre
sous la forme F(p 1 , p 2 , …, p n–p ) = 0.
Il y a (n–p) groupements indépendants sans dimensions p 1 , p 2 , …, p n-p (n > p).
Ce théorème constitue le théorème de Vashy-Buckingham (ou Pi-Buckingham).
7.2.1Constitutiondusystèmelinéaire
Dans la mesure où il y a « n » grandeurs et « p » unités, on écrit le système de « p »
équations linéaires algébriques avec « n » variables :
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n n
n n
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
+
+
=
+
+
=
a x
a x
a x
b
p
p
pn n
p
1 1
2 2
+
+
=
(7.12)
Le système (2) peut aussi s’écrire sous la forme matricielle suivante : A x b
, avec :
A
a
a
a
a
a
a
a
n
n
=
11
12
1
21
22
2
1
p
a a
a n
p
p
2
, x
x
x
x n
=
1
2
, b
b
b
b p
=
1
2
9782100549337-Livre.indb 177
31/07/11 13:02
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Exemple :
La contrainte visqueuse a les dimensions suivantes :
=
=
×
[
]
Force
Surface
Masse Accélération
Surfa ace
M L T
L
=M L T
2
2
1
2
[
]
=
−
−
−
et la viscosité (sachant que la contrainte visqueuse τ μ
∝ (
)
d d
U y )
μ
τ
=
=
−
−
−
−
d d
M L T
L
T
1
L
=M L T
1
2
1
1
U y
7.2 Théorème de vashy-buckingham
ThéorèmedeVashy-Buckingham
Si un phénomène physique fait intervenir n grandeurs E 1 , E 2 , …, E n qui se mesurent
avec « p » unités indépendantes, alors une relation f(E 1 , E 2 , …, E n ) = 0 peut se mettre
sous la forme F(p 1 , p 2 , …, p n–p ) = 0.
Il y a (n–p) groupements indépendants sans dimensions p 1 , p 2 , …, p n-p (n > p).
Ce théorème constitue le théorème de Vashy-Buckingham (ou Pi-Buckingham).
7.2.1Constitutiondusystèmelinéaire
Dans la mesure où il y a « n » grandeurs et « p » unités, on écrit le système de « p »
équations linéaires algébriques avec « n » variables :
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n n
n n
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
+
+
=
+
+
=
a x
a x
a x
b
p
p
pn n
p
1 1
2 2
+
+
=
(7.12)
Le système (2) peut aussi s’écrire sous la forme matricielle suivante : A x b
, avec :
A
a
a
a
a
a
a
a
n
n
=
11
12
1
21
22
2
1
p
a a
a n
p
p
2
, x
x
x
x n
=
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2
, b
b
b
b p
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