Solutions
169
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
μ
σ
α
μ
α λ
α λ
e
xx
=
= +
(
) −
(
)
3
1
1 2
3.On constate que cette viscosité devient infinie si
α
λ
1
2
. On remarque aussi qu’elle
devient négative si
α
λ
1
2
, ce qui n’a pas de sens physique. En effet, si le taux d’étirage
devient plus grand que l’inverse du temps caractéristique l du fluide cela signifie que les
macromolécules ne vont pas avoir le temps de s’étirer et que le comportement élastique
ne pourra pas se manifester.
Partie B : régime transitoire
4.En supposant que les contraintes restent uniformes dans l’évolution transitoire depuis
l’instant initial jusqu’à l’instant t, nous devons donc seulement rajouter aux précédentes
équations de Maxwell le terme transitoire :
′ +
∂ ′
∂
−
′ =
′ +
∂ ′
∂
+
′
σ
λ
σ
α λσ
μα
σ
λ
σ
α λσ
xx
xx
xx
yy
yy
y
t
t
2
2
y y
zz
zz
zz
t
= −
′ +
∂ ′
∂
+
′ = −
μα
σ
λ
σ
α λσ
μα
On résout chaque équation en utilisant les conditions initiales :
′
=
(
) = ′
=
(
) = ′
=
(
) =
xx
yy
zz
t
t
t
0
0
0
0. Deux cas se présentent alors :
α
λ
1
2
et
α
λ
1
2
.
• Cas
α
λ
1
2
, la solution des équations différentielles conduit à :
′ = −
−
′ = ′ = −
−
−
σ
μα
α λ
σ
σ
μα
α λ
λ
xx
t
yy
zz
e
2
1 2
1
1 2
1 1
1
1
+
−
−
+
α λ
α λ
λ
e
t
On constate que si
α
λ
1
2
, l’argument de l’exponentielle est négatif et ′ = −
σ
μα
α λ
xx
2
1 2
quand t → ∞. Si
α
λ
1
2
, ′ → ∞
xx
quand t → ∞.
9782100549337-Livre.indb 169
31/07/11 13:02
169
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
μ
σ
α
μ
α λ
α λ
e
xx
=
= +
(
) −
(
)
3
1
1 2
3.On constate que cette viscosité devient infinie si
α
λ
1
2
. On remarque aussi qu’elle
devient négative si
α
λ
1
2
, ce qui n’a pas de sens physique. En effet, si le taux d’étirage
devient plus grand que l’inverse du temps caractéristique l du fluide cela signifie que les
macromolécules ne vont pas avoir le temps de s’étirer et que le comportement élastique
ne pourra pas se manifester.
Partie B : régime transitoire
4.En supposant que les contraintes restent uniformes dans l’évolution transitoire depuis
l’instant initial jusqu’à l’instant t, nous devons donc seulement rajouter aux précédentes
équations de Maxwell le terme transitoire :
′ +
∂ ′
∂
−
′ =
′ +
∂ ′
∂
+
′
σ
λ
σ
α λσ
μα
σ
λ
σ
α λσ
xx
xx
xx
yy
yy
y
t
t
2
2
y y
zz
zz
zz
t
= −
′ +
∂ ′
∂
+
′ = −
μα
σ
λ
σ
α λσ
μα
On résout chaque équation en utilisant les conditions initiales :
′
=
(
) = ′
=
(
) = ′
=
(
) =
xx
yy
zz
t
t
t
0
0
0
0. Deux cas se présentent alors :
α
λ
1
2
et
α
λ
1
2
.
• Cas
α
λ
1
2
, la solution des équations différentielles conduit à :
′ = −
−
′ = ′ = −
−
−
σ
μα
α λ
σ
σ
μα
α λ
λ
xx
t
yy
zz
e
2
1 2
1
1 2
1 1
1
1
+
−
−
+
α λ
α λ
λ
e
t
On constate que si
α
λ
1
2
, l’argument de l’exponentielle est négatif et ′ = −
σ
μα
α λ
xx
2
1 2
quand t → ∞. Si
α
λ
1
2
, ′ → ∞
xx
quand t → ∞.
9782100549337-Livre.indb 169
31/07/11 13:02