Chapitre6•Rhéologiedesfluides
168
Comme on se place en régime permanent
∂
∂
=
′
t
0 et que le taux d’élongation
est
constant ( ⇒
∂ ′
∂
=
∂ ′
∂
=
∂ ′
∂
=
xx
yy
zz
x
y
z
0 ) on trouve alors
d
dt
′ = 0 . Comme
= ∇ = ∇
( )
u
u
t , on voit que la dérivée convective est finalement :
δσ
δ
σ
ασ
ασ
ασ
′
′
t
u
xx
yy
zz
= − ∇
=
−
′
′
′
2
2
0
0
0
0
0
0
La loi de comportement de Maxwell donnée à la relation (6.15) conduit donc à :
′ −
′ =
′ +
′ = −
′ +
′
σ
α λσ
μα
σ
α λσ
μα
σ
α λσ
xx
xx
yy
yy
zz
zz
2
2
= = −
μα
Et donc :
σ
μα
α λ
μα
α λ
μα
α λ
′ =
−
− +
− +
2
1 2
0
0
0
1
0
0
0
1
On constate que
xx n’existe que si
α λ
1
2
. Le tenseur des contraintes est alors :
σ
μα
α λ
μα
α λ
μα
α λ
=
− ′ + −
− ′ − +
− ′ − +
p
p
p
2
1 2
0
0
0
1
0
0
0
1
2.Aucune contrainte n’est appliquée suivant y et z donc :
yy
zz
0 ce qui conduit
à : ′ = − +
p
μα
α λ
1
et donc : σ
μα
α λ
α λ
xx = +
(
) −
(
)
3
1
1 2
. Ceci nous conduit à la viscosité
élongationnelle :
9782100549337-Livre.indb 168
31/07/11 13:02
168
Comme on se place en régime permanent
∂
∂
=
′
t
0 et que le taux d’élongation
est
constant ( ⇒
∂ ′
∂
=
∂ ′
∂
=
∂ ′
∂
=
xx
yy
zz
x
y
z
0 ) on trouve alors
d
dt
′ = 0 . Comme
= ∇ = ∇
( )
u
u
t , on voit que la dérivée convective est finalement :
δσ
δ
σ
ασ
ασ
ασ
′
′
t
u
xx
yy
zz
= − ∇
=
−
′
′
′
2
2
0
0
0
0
0
0
La loi de comportement de Maxwell donnée à la relation (6.15) conduit donc à :
′ −
′ =
′ +
′ = −
′ +
′
σ
α λσ
μα
σ
α λσ
μα
σ
α λσ
xx
xx
yy
yy
zz
zz
2
2
= = −
μα
Et donc :
σ
μα
α λ
μα
α λ
μα
α λ
′ =
−
− +
− +
2
1 2
0
0
0
1
0
0
0
1
On constate que
xx n’existe que si
α λ
1
2
. Le tenseur des contraintes est alors :
σ
μα
α λ
μα
α λ
μα
α λ
=
− ′ + −
− ′ − +
− ′ − +
p
p
p
2
1 2
0
0
0
1
0
0
0
1
2.Aucune contrainte n’est appliquée suivant y et z donc :
yy
zz
0 ce qui conduit
à : ′ = − +
p
μα
α λ
1
et donc : σ
μα
α λ
α λ
xx = +
(
) −
(
)
3
1
1 2
. Ceci nous conduit à la viscosité
élongationnelle :
9782100549337-Livre.indb 168
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