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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Nous savons que la contrainte suivant z équilibre le poids du fluide. Ceci nous permet
donc d’écrire :
σ
μ λω
ρ
zz
te
p
R R
R
R r
C
g h r
= − ′ = −
(
)
−
+
= −
( )
2
1
2
1 2
2
2
2
1
2 4
Ce qui nous permet d’exprimer la variation de la surface libre :
h r
g
R R
R
R r
C te
( ) =
(
)
−
+
2
1
2
1 2
2
2
2
1
2 4
μ λω
ρ
La variation de hauteur entre le cylindre intérieur et le cylindre extérieur est donc
finalement :
Δh h R
h R
g
R
R
R
R r
= ( ) − ( ) =
+
−
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2 4
2
1
μ λω
ρ
(6.5)
Partie A : régime permanent
1.Le champ de vitesse nous conduit à exprimer le tenseur des vitesses de déformation :




ε
α
α
α
=
−
−














0
0
0
2
0
0 0
2
On admet alors que le tenseur des contraintes a une forme identique à celui des vitesses
de déformation :




′ =
′
′
′










xx
yy
zz
0
0
0
0
0
0
La dérivée convective est :
δσ
δ
σ
σ σ
′
′
′
′
t
d
dt
u
u
t
=
− ∇
−
∇
( )


Avec (application de la dérivée particulaire) :
d
dt
t
u



′
′
′
=
∂
∂
+ ∇
9782100549337-Livre.indb 167
31/07/11 13:02