Chapitre6•Rhéologiedesfluides
162
On voit par contre que :
N 2
22
33
22
33
0
γ
σ
σ
σ
σ
( ) =
−
= ′ − ′ =
2.On retrouve le comportement newtonien lorsque la différence de contraintes normales
devient négligeable devant la contrainte de cisaillement :
11
22
12
Ceci est donc vérifié lorsque :
λ γ 1
3.La pression hydrostatique est :
p
p
=
( ) = ′ −
1
3
2
3
2
tr σ
λ μ γ
(6.3)
1.Le champ de vitesse est de la forme : u
r z
=
( )
(
)
0
0
,
,
Ω
. Le tenseur des vitesses de
déformation est donc :
ε
γ
γ
=
0 0 0
0 0 2
0 2
0
où le taux de cisaillement est
=
( )
r
z
z
d
d
Ω .
De manière générale, le tenseur des contraintes est :
s
s
s
s
s
s
qq
q
q
=
È
Î
Í
Í
Í
˘
˚
˙
˙
˙
rr
z
z
zz
0
0
0
0
2.On trouve :
∇ =
− ( )
( )
( )
u
z
z
r
z
z
0
0
0
0
0
0
Ω
Ω
Ω
d
d
Ce qui conduit à :
∇
+
∇
( ) =
( ) ′ − ′
(
) − ( ) ′
( ) ′
u
u
z
z
z
t
rr
z
r
σ σ
σ
σ
σ
σ
θθ
θ
′
′
0
Ω
Ω
Ω
r r
z
zz
z
r
z
z
r
z
z
z
r
z
− ′
(
)
( ) ′
( ) ′
− ( ) ′
σ
σ
σ
σ
θθ
θ
θ
2
d
d
d
d
d
Ω
Ω
Ω
Ω ( ( ) ′
dz
zz
σ
0
9782100549337-Livre.indb 162
31/07/11 13:02
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On voit par contre que :
N 2
22
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22
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0
γ
σ
σ
σ
σ
( ) =
−
= ′ − ′ =
2.On retrouve le comportement newtonien lorsque la différence de contraintes normales
devient négligeable devant la contrainte de cisaillement :
11
22
12
Ceci est donc vérifié lorsque :
λ γ 1
3.La pression hydrostatique est :
p
p
=
( ) = ′ −
1
3
2
3
2
tr σ
λ μ γ
(6.3)
1.Le champ de vitesse est de la forme : u
r z
=
( )
(
)
0
0
,
,
Ω
. Le tenseur des vitesses de
déformation est donc :
ε
γ
γ
=
0 0 0
0 0 2
0 2
0
où le taux de cisaillement est
=
( )
r
z
z
d
d
Ω .
De manière générale, le tenseur des contraintes est :
s
s
s
s
s
s
q
q
=
È
Î
Í
Í
Í
˘
˚
˙
˙
˙
rr
z
z
zz
0
0
0
0
2.On trouve :
∇ =
− ( )
( )
( )
u
z
z
r
z
z
0
0
0
0
0
0
Ω
Ω
Ω
d
d
Ce qui conduit à :
∇
+
∇
( ) =
( ) ′ − ′
(
) − ( ) ′
( ) ′
u
u
z
z
z
t
rr
z
r
σ σ
σ
σ
σ
σ
θθ
θ
′
′
0
Ω
Ω
Ω
r r
z
zz
z
r
z
z
r
z
z
z
r
z
− ′
(
)
( ) ′
( ) ′
− ( ) ′
σ
σ
σ
σ
θθ
θ
θ
2
d
d
d
d
d
Ω
Ω
Ω
Ω ( ( ) ′
dz
zz
σ
0
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