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161
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Comme le régime d’écoulement est permanent et uniforme, on a :
d
d
′
′
′
t
t
u x
x
=
∂
∂
+
∂
∂
= 0
D’autre part :
∇
=
′
′
u
σ
γ σ
γ σ
′
12
22 0
0
0
0
0
0
0
et :
σ
γ σ
γ σ
′∇ =
′
′
u
12
22
0 0
0 0
0
0 0
Donc :
δσ
δ
γ σ
γ σ
γ σ
′
t
=
−
′ − ′
− ′
2
0
0
0
0
0
0
12
22
22
La loi de Maxwell nous conduit à :
′ −
′ =
′ −
′ =
′ =
′ =
σ
γ λσ
σ
γ λσ
μ γ
σ
σ
11
12
12
22
22
33
2
0
0
0
On en déduit :
′ =
′ =
σ
λ μ γ
σ
μ γ
11
2
12
2
Finalement le tenseur des contraintes est :
σ σ
λ μ γ
μ γ
μ γ
=
− ′ =
− ′
− ′
− ′
′ p I
p
p
p
2
0
0
0
0
2
Bien que l’on retrouve la contrainte de cisaillement classique pour l’écoulement
newtonien : τ
σ
σ
μ γ
xy =
= ′ =
12
12
, on observe aussi une différence de contrainte normale propre au comportement viscoélastique :
N 1
11
22
2
2
γ
σ
σ
λ μ γ
( ) =
−
=
9782100549337-Livre.indb 161
31/07/11 13:02
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Comme le régime d’écoulement est permanent et uniforme, on a :
d
d
′
′
′
t
t
u x
x
=
∂
∂
+
∂
∂
= 0
D’autre part :
∇
=
′
′
u
σ
γ σ
γ σ
′
12
22 0
0
0
0
0
0
0
et :
σ
γ σ
γ σ
′∇ =
′
′
u
12
22
0 0
0 0
0
0 0
Donc :
δσ
δ
γ σ
γ σ
γ σ
′
t
=
−
′ − ′
− ′
2
0
0
0
0
0
0
12
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La loi de Maxwell nous conduit à :
′ −
′ =
′ −
′ =
′ =
′ =
σ
γ λσ
σ
γ λσ
μ γ
σ
σ
11
12
12
22
22
33
2
0
0
0
On en déduit :
′ =
′ =
σ
λ μ γ
σ
μ γ
11
2
12
2
Finalement le tenseur des contraintes est :
σ σ
λ μ γ
μ γ
μ γ
=
− ′ =
− ′
− ′
− ′
′ p I
p
p
p
2
0
0
0
0
2
Bien que l’on retrouve la contrainte de cisaillement classique pour l’écoulement
newtonien : τ
σ
σ
μ γ
xy =
= ′ =
12
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, on observe aussi une différence de contrainte normale propre au comportement viscoélastique :
N 1
11
22
2
2
γ
σ
σ
λ μ γ
( ) =
−
=
9782100549337-Livre.indb 161
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