Chapitre6•Rhéologiedesfluides
156
En appliquant la dérivée particulaire on trouve donc :
d
d
σ
σ
σ θθ
′
t
x
y
xy
x
y
x
y
xy
rr
=
+
′ − ′
(
)
−
−
−







Ω
2
2
2
2
2
2
2
2
 
On voit que cette dérivée est nulle seulement si ′ = ′
σ
σ θθ
rr
. Or l’écoulement d’un
fluide viscoélastique entraîne une différence entre ces 2 contraintes. La dérivée
particulaire n’est donc pas adaptée à décrire le taux de variation d’une quantité
tensorielle dans une loi de comportement.
Pour calculer la dérivée du tenseur des contraintes il est donc nécessaire de définir un
repère qui se déforme en même temps que le fluide. Ce repère est dit convectif. Oldroyd
a alors défini la dérivée convective comme :
δσ
δ
σ
σ σ
′
′
′
′
t
t
u
u
t
=
− ∇
−
∇
( )
d
d


(6.13)
où le taux de variation de  se calcule toujours à partir de la dérivée particulaire :
d
d



′
′
′
t
t
u
=
∂
∂
+ ⋅ ∇
(6.14)
Autresdérivéesconvectives
La dérivée d’Oldroyd (appelée aussi dérivée doublement contravariante) est la plus
utilisée mais il faut aussi citer la dérivée de Rivlin dite doublement covariante :
D
Dt
t
u
u
t

 

′
′
′
′
=
− ∇ + ∇
( )
d
d


Ou bien encore la dérivée de Jauman qui est une combinaison linéaire des dérivées
d’Oldroyd et de Rivlin :
D
D


 
′
′
′
′
t
t
R
R
=
−
−
d
d
Où R est le tenseur des rotations.
L’utilisation de cette loi de dérivation convective dans la relation de Maxwell en 1D
conduit à la relation généralisée, appelée aussi modèle de Maxwell convecté, sous la
forme :
σ λ
δσ
δ
μ ε
′
′
+
=
t
2 
(6.15)
9782100549337-Livre.indb 156
31/07/11 13:02