6.5•Lesdifférentesloisdecomportementd’unmatériauviscoélastique
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
d
d
′ =
∂ ′
∂
+ ⋅ ∇ ′



xx
xx
xx
t
t
u
(6.11)
Or :
u
u
x
u
y
u
z
xx
x
xx
y
xx
z
xx
⋅ ∇ ′ =
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
=




0
(6.12)
En effet, seule la composante u x est non nulle et 
 xx ne dépend que de y. Et ceci se
vérifie pour toutes les autres composantes du tenseur des extra-contraintes. Ainsi, la
généralisation de la loi de Maxwell aboutirait à la loi de Newton en 3D et ne prendrait
plus en compte le comportement élastique (en particulier elle ne conduit plus à l’existence de la différence de contraintes normales). L’explication physique de ce résultat est
que la dérivée particulaire dépend du référentiel et ne peut donc pas être appliquée à une
loi de comportement.
Dérivéeparticulairedutenseurdescontraintes
Soit l’écoulement cylindrique permanent défini sur la figure ci-dessous, où le tenseur des extra-contraintes est de la forme :
′ =
′ ( )
′ ( )








σ
σ
σ θθ
rr r
r
0
0
Dans le repère e e
r
, 
(
) lié au disque, on
observe que le champ des contraintes est
constant et donc que :
d
d
d
d
′
=
′
=
(
)
(
)
σ
σ
θ
θ
θθ
rr
e e
e e
t
t
r
r
,
,
0
r
e
e
x
e
y
e
rr
¢
¢
s
s
q
q
qq
Plaçons nous maintenant dans le repère fixe e e
x y
,
(
). On a donc :
u
r
y
u
r
x
x
y
= −
= −
=
=
Ω
Ω
Ω
Ω
sin
cos


et :
′
′
′
′








=
−





σ
σ
σ
σ
θ
θ
θ
θ
xx
xy
xy
yy
cos
sin
sin
cos  
′ ( )
′ ( )







 −




σ
σ
θ
θ
θ
θ
θθ
rr r
r
0
0
cos
sin
sin
cos  

soit :
′
′
′
′








=
+
′
+ ′
′
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
θθ
xx
xy
xy
yy
rr
r
x
y
x
y
1
2
2
2
2
r r
rr
rr
x y
x y
y
x
− ′
(
)
′ − ′
(
)
′
+ ′








σ
σ
σ
σ
σ
θθ
θθ
θθ
2
2
9782100549337-Livre.indb 155
31/07/11 13:02