Chapitre6•Rhéologiedesfluides
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Dans le cas d’un fluide newtonien, on sait que σ
σ
σ
θθ
rr
zz
p
=
=
= − et σ
μ γ
θ
r .
Or dans le cas d’un liquide viscoélastique la loi de comportement n’implique pas l’égalité
entre les contraintes normales. C’est le cas pour l’écoulement de Couette où on observe
une différence de contraintes normales entre rr et σ θθ alors que
rr
zz
(voir exercice 6.5). Ainsi, l’application du bilan de quantité de mouvement décrite au chapitre 5
conduit en coordonnées cylindriques à (voir formulaire en annexe) :
∂
∂
=
−
>
∂
∂
=
∂
∂
>
σ
σ
σ
σ
σ
θθ
rr
rr
rr
zz
r
r
r
r
0
0
(6.8)
La contrainte selon z équilibre le poids de liquide de hauteur h(r) :
σ
ρ
zz
g h r
= −
( )
(6.9)
Or comme ∂
∂ >
zz r
0 d’après la relation (6.8), ceci implique que ∂ ( ) ∂ <
h r r
0
d’après la relation (6.9) et qu’il y a donc une remontée de liquide au centre.
Dans l’écoulement de Couette, nous savons que chaque surface de cisaillement est
un cylindre de même axe que l’axe de révolution des cylindres solides. La différence
entre un écoulement visqueux et viscoélastique est l’existence d’une contrainte σ θθ
selon la direction de cisaillement pour le deuxième. Ainsi, chaque couche cylindrique
du liquide viscoélastique est soumise à une tension qui doit être équilibrée par une
surpression interne. Il existe donc un gradient de pression dans la direction radiale de
l’écoulement, de la périphérie vers le centre, qui génère cette remontée de fluide sur
l’axe de rotation.
6.5.2Loisàdérivationconvectivedelacontrainte
La loi de Maxwell, définie par la relation (6.4) correspond à un écoulement simplement
cisaillé, donc unidirectionnel. Sa généralisation au cas tridimensionnel nécessite l’introduction d’une dérivée particulière : la dérivée convective. Cet opérateur est nécessaire
pour calculer la dérivée du tenseur des contraintes intervenant dans la relation de
Maxwell. En effet, la dérivation particulaire n’est pas applicable pour un tenseur car elle
dépend du référentiel.
Dans le cas du fluide visqueux incompressible, nous avons vu que le tenseur des
contraintes se décompose en un tenseur sphérique p I , où p = −
( )
trace 3 est la pression hydrostatique, et un déviateur des contraintes s
p I
= +
. Dans ce cas, la loi de
comportement (loi de Newton) lie le déviateur des contraintes au tenseur des vitesses de
déformation ( s 2 μ ε ). Pour un fluide viscoélastique, nous pouvons toujours réaliser
cette décomposition sous la forme :
=
− ′
′ p I , où ' est appelé tenseur des extracontraintes et p¢ est une pression mais qui n’est plus la pression hydrostatique puisque :
p
p
= −
( ) = ′ −
( )
1
3
1
3
trace
trace
′
(6.10)
Considérons l’écoulement simplement cisaillé entre plaques parallèles u
u y
x
=
( )
(
)
, ,
0 0 .
La dérivée particulaire de chaque composante du tenseur des extra-contraintes est :
9782100549337-Livre.indb 154
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Dans le cas d’un fluide newtonien, on sait que σ
σ
σ
θθ
rr
zz
p
=
=
= − et σ
μ γ
θ
r .
Or dans le cas d’un liquide viscoélastique la loi de comportement n’implique pas l’égalité
entre les contraintes normales. C’est le cas pour l’écoulement de Couette où on observe
une différence de contraintes normales entre rr et σ θθ alors que
rr
zz
(voir exercice 6.5). Ainsi, l’application du bilan de quantité de mouvement décrite au chapitre 5
conduit en coordonnées cylindriques à (voir formulaire en annexe) :
∂
∂
=
−
>
∂
∂
=
∂
∂
>
σ
σ
σ
σ
σ
θθ
rr
rr
rr
zz
r
r
r
r
0
0
(6.8)
La contrainte selon z équilibre le poids de liquide de hauteur h(r) :
σ
ρ
zz
g h r
= −
( )
(6.9)
Or comme ∂
∂ >
zz r
0 d’après la relation (6.8), ceci implique que ∂ ( ) ∂ <
h r r
0
d’après la relation (6.9) et qu’il y a donc une remontée de liquide au centre.
Dans l’écoulement de Couette, nous savons que chaque surface de cisaillement est
un cylindre de même axe que l’axe de révolution des cylindres solides. La différence
entre un écoulement visqueux et viscoélastique est l’existence d’une contrainte σ θθ
selon la direction de cisaillement pour le deuxième. Ainsi, chaque couche cylindrique
du liquide viscoélastique est soumise à une tension qui doit être équilibrée par une
surpression interne. Il existe donc un gradient de pression dans la direction radiale de
l’écoulement, de la périphérie vers le centre, qui génère cette remontée de fluide sur
l’axe de rotation.
6.5.2Loisàdérivationconvectivedelacontrainte
La loi de Maxwell, définie par la relation (6.4) correspond à un écoulement simplement
cisaillé, donc unidirectionnel. Sa généralisation au cas tridimensionnel nécessite l’introduction d’une dérivée particulière : la dérivée convective. Cet opérateur est nécessaire
pour calculer la dérivée du tenseur des contraintes intervenant dans la relation de
Maxwell. En effet, la dérivation particulaire n’est pas applicable pour un tenseur car elle
dépend du référentiel.
Dans le cas du fluide visqueux incompressible, nous avons vu que le tenseur des
contraintes se décompose en un tenseur sphérique p I , où p = −
( )
trace 3 est la pression hydrostatique, et un déviateur des contraintes s
p I
= +
. Dans ce cas, la loi de
comportement (loi de Newton) lie le déviateur des contraintes au tenseur des vitesses de
déformation ( s 2 μ ε ). Pour un fluide viscoélastique, nous pouvons toujours réaliser
cette décomposition sous la forme :
=
− ′
′ p I , où ' est appelé tenseur des extracontraintes et p¢ est une pression mais qui n’est plus la pression hydrostatique puisque :
p
p
= −
( ) = ′ −
( )
1
3
1
3
trace
trace
′
(6.10)
Considérons l’écoulement simplement cisaillé entre plaques parallèles u
u y
x
=
( )
(
)
, ,
0 0 .
La dérivée particulaire de chaque composante du tenseur des extra-contraintes est :
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