Solutions
141
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Q
u x y y
p
x
y
h x y
U y
v
h x
r
=
(
)
=
− ( )





 +
( )
∫
2
2
1
2
3
0
3
2
, d
d
d
μ
 





( )
0
h x
Soit :
Q
p
x
h x
U h x
v
r
= −
( ) +
( )

 

 
2
1
3
3
μ
d
d
Nous notons h  la hauteur de demi-entrefer où la pression est maximale, soit :
d
d
p
x
h x
h
=
( ) = ∗
0,
Ceci conduit à :
Q
U h
p
x
h x
U h x
r
r
=
= −
( ) +
( )

 

 
2
2
1
3
3
*
μ
d
d
Soit encore :
d
d
p
x
U
h
h x
h x
r
=
− ( )
( )
3
3
μ
*
C’est ce que l’on nomme l’équation de Reynolds.
3.On note h r la reprise d’épaisseur de la plaque qui est donc par définition : h
h h
r  * 0
. On effectue le changement de variable :
 x
h x
h
x
R h
( ) =
( ) − =
0
0
1
2
L’équation de Reynolds devient :
d
d
p
U
R h
h
r
b
m
b
b
b
=
-
+
(
)
3
2
1
0
0
2
2
2
2
3
*
avec :  ∗
∗
=
− =
−
h
h
h r
0
1
1.
La pression en entrée du bourrelet étant égale à la pression atmosphérique que l’on prendra nulle, on a :
p
U
R h
h
r
H
b
m
g
b
g
g
b
b
( ) =
-
+
(
)
-
Ú
3
2
1
0
0
2
2
2
2
3
*
d
On détermine  * en écrivant que la pression est aussi nulle en sortie :
p
H
b
g
b
g
g
b
b
*
*
*
( ) = =
-
+
(
)
-
Ú
0
1
2
2
2
3 d
9782100549337-Livre.indb 141
31/07/11 13:01