Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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(5.5)
1.En assimilant le cylindre à une parabole dans la région de l’écoulement, nous pouvons
écrire la variation de demi entrefer en fonction de x sous la forme :
h x
h
x
R h
( ) =
+






0
2
0
1 2
Ce qui conduit à :
d
d
h x
x
x
R
h x h
R
x
( ) =
=
( ) −
∀
2
1
0
 ,
D’autre part, les valeurs numériques de R et h 0 sont telles qu’elles vérifient :
h x
R
x
( )
∀
 1,
L’application de l’approximation de lubrification hydrodynamique est donc bien justifiée
et on peut écrire que le champ de vitesse dans l’écoulement est de la forme : u u y x


= ( ) .
2.En régime permanent et en négligeant le poids du fluide, les équations Navier-Stokes
se simplifient sous la forme de celles d’un écoulement simplement cisaillé :
d
d
d
d
d
d
p
x
u
y
p
y
=
=
Ï
Ì
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
m
2
2
0
Les conditions aux limites sont :
u x h x
R
U
u x h x
U
u x
y
r
r
,
,
,
- ( )
(
) =
=
( )
(
) =
fi
(
) =
Ï
Ì
Ô
Ó
Ô
w
d
d
0
0
L’intégration de la première relation de Navier-Stokes conduit à :
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
2
1
1
1
1
2
u
y
p
x
u
y
p
x
y C
u
p
x
y
C y C
=
fi
=
+
fi =
+
+
m
m
m
2 2
La deuxième condition limite donne C 1 0
 et la première condition limite donne :
C
U
p
x
h x
r
2
2
1
2
=
−
( )
μ
d
d
La solution est donc :
u x y
p
x
y
h x
U r
,
(
) =
− ( )
(
) +
1
2
2
2
μ
d
d
Le débit volume par unité de largeur est :
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