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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Avec (5.97) on trouve alors :
 p
p R
L
=
Δ
2
(5.4)
1.L’écoulement a lieu dans le plan (rz) et il est unidirectionnel selon q. D’autre part,
l’équation de continuité conduit à :
∇ ⋅ = =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
u
r
r
u
u
z
r
z
 0
1 

Ce qui montre que la vitesse selon q ne dépend que de r et donc u
u r
 =
( )
(
)
0
0
,
,

.
2.Les équations de Navier-Stokes se résument à :
0
0
1
1
0
= −
∂
∂
= −
∂
∂
+
( )






= −
∂
∂



p
r
r
p
r r
r u
r
p
z
θ
μ
θ
d
d
d
d
 





Les égalités 1 et 3 montrent que la pression ne dépend que de q et la 2 e égalité conduit à :
∂
∂
=
( )





 =
p
r r r
r u
r
K
θ
μ
θ
d
d
d
d
1
, K est une constante
(5.99)
Les conditions aux limites en vitesse sont :
u r R
u r R
R
z
z
=
(
) =
=
(
) =



 
2
1
1
0
Ω
(5.100)
En intégrant la relation (5.99) avec les conditions aux limites (5.100) on trouve :
u r
R
R
R
R
r
r
 ( ) =
−
(
)
−






1
2
2
2
1
2
2
2
2
Ω
(5.101)
3.Le couple à exercer est :
C
r R S
r R
R L
R L
u
r
u r
rz
r R
=
=
(
) =
=
(
)
=
-
=
t
m e
p
p
q
q
2
2
2
2
2
2
2
2

d
d
= =
(
)
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ ¥
R
R
2
2
2m
(5.102)
Soit :
C
R R
L
R
R
=
−
(
)
4
1
2 1
2
2
2
1
2
π μ
Ω
(5.103)
9782100549337-Livre.indb 139
31/07/11 13:01