Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
138
(5.3)
1.On se place dans le repère de coordonnées cylindriques (r,q,z). L’écoulement est unidirectionnel selon z et la symétrie de révolution rend la vitesse indépendante de q. Enfin,
l’équation de continuité donne :
∇ ⋅ = =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
u
r
r
u
u
z
r
z
 0
1 

On en déduit donc que u
u r
z
 =
( )
(
)
0 0
, ,
.
2.Les équations de Navier-Stokes écrites en coordonnées cylindriques (voir annexe) se
réduisent à :
0
0
0
= −
∂
∂
= −
∂
∂
= −
∂
∂
+
( )









p
x
p
p
z r r
r
u
r
z
θ
μ d
d
d
d
Les 2 premières relations entraînent que p ne dépend que de z et la 3 e relation conduit à :
d
d
d
d
d
d
p
z
r r
r
u
r
K
z
=
( ) =
μ
, K est une constante
(5.95)
Les conditions limites en pression sont : p x
p
=
(
) =
0
Δ et p x L
=
(
) = 0. La relation
conduit alors à :
p
p
z
L
=
−
( )
Δ 1
Les conditions aux limites en vitesse sont :
u r R
u
r
r
z
z
=
(
) =
=
(
) =





0
0
0
d
d
(5.96)
L’intégration de la relation (5.95) avec les conditions aux limites de la relation
(5.96) conduisent à :
u r
p
L
R
r
z ( ) =
−
(
)
Δ
4
2
2
μ
(5.97)
3.Le débit masse par unité de longueur de la conduite est :
Q
u r
r r
p
L
R
m
z
R
=
( )
=
∫
ρ
π
ρ
π
μ
2
8
0
4
d
Δ
(5.98)
4.Si t
 est le vecteur tangent à la paroi, la contrainte à la paroi est par définition :
τ
σ
μ
p
r R
t t
u
r
= ( ) ⋅ = −
∂
∂ =
 
9782100549337-Livre.indb 138
31/07/11 13:01