Solutions
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2.Les équations de Navier-Stokes se réduisent à :
ρ
ρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂





 = −
∂
∂
+
+
u
t
u
u
x
u
u
y
u
u
z
p
x
g
x
x
x
x
y
x
z
x
μ μ
ρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
2
2
2
u
x
u
y
u
z
u
t
u
u
x
u
x
x
x
y
y
x
y y
y
y
z
y
y
y
u
y
u
u
z
p
y
g
u
x
u
y
∂
∂
+
∂
∂





 = −
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
μ
2
2
2
2 2
2
2
+
∂
∂


 


 
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
z
u
t
u
u
x
u
u
y
u
u
y
z
z
x
z
y
z
z
ρ
z z
p
z
g
u
x
u
y
u
z
z
z
z
z





 = −
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂




ρ
μ
2
2
2
2
2
2  

Soit :
0
0
0
2
2
= −
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
= −
∂
∂









p
x
u
y
p
y
p
z
x
μ
Les 2 dernières égalités nous disent que la pression ne dépend que de x et comme la
vitesse ne dépend que de y, la première égalité nous dit que :
∂
∂
=
∂
∂
=
p
x
u
y
K
x
μ
2
2
, K est une constante
(5.92)
Ceci conduit à : p x
K x C
( ) =
+ (où C est une constante). Comme p p
 0 en x = 0
et x = L, on en déduit donc que K = 0 et p p
 0 partout. Les conditions d’adhérence du
fluide aux parois sont :
u y
u y h
U
x
x
=
(
) =
=
(
) =



 
0
0
(5.93)
La relation (5.92) s’intègre sous la forme :
∂
∂
= ⇒
=
+
2
2
0
u
y
u
a y b
x
x
(5.94)
On trouve les constantes a et b avec la relation (5.93), ce qui conduit à :
u y
U y h
x ( ) =
3.le débit masse par unité de largeur de plaque est :
Q
u y y
U
h
m
x
h
=
( )
=
∫


d
0
2
9782100549337-Livre.indb 137
31/07/11 13:01