Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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Où β
ρ ρ
p
p
T
= −
∂ ∂
(
)
1
est le coefficient de dilation thermique à pression constante.
On trouve donc :
d
d
d
d
d
d
h
t
T
p
t
C
T
t
p
p
=
−
(
) +
1 1
ρ
β
Finalement, la relation de conservation de l’énergie interne s’écrit :
ρ
β
ρ
ε
φ
d
d
d
d
d
d
d
d
h
t
T
p
t
C
T
t
p
t
s
p
p
= −
(
) +
=
+
− ∇ ⋅
1
:
Soit :
ρ
β
ε
φ
C
T
t
T
p
t
s
p
p
d
d
d
d
=
+
− ∇ ⋅
:
Remarque : pour les gaz assimilables à des gaz parfaits on a  p
T
 1 .
La densité de flux de chaleur  est donnée par la loi phénoménologique de Fourier :
φ
λ
= − ∇T
En utilisant la dérivée particulaire, l’équation de conservation de l’énergie s’écrit alors :
ρ
β
ε
φ
C
T
t
u T
T
p
t
s
p
p
∂
∂
+ ⋅ ∇
(
) =
+
− ∇ ⋅
d
d
:
On retrouve dans cette équation les deux modes de transfert de la chaleur :
• la diffusion :∇ ⋅ ∇
(
)
 T ,
• le transport (ou convection) :  C u T
p
⋅ ∇ .
Le terme source s : 
 (produit tensoriel du tenseur de vitesse de déformation par le tenseur déviateur des contraintes) est le terme de dissipation thermique et ne doit pas être
considéré comme un mode de transfert de la chaleur mais il constitue un mode de production de la chaleur.
(5.2)
1.L’écoulement est dans le plan (xy) et unidirectionnel selon x, on peut donc admettre
que les composantes de vitesse selon y et z sont nulles. D’autre part l’écoulement est
incompressible donc :
∇ ⋅ = =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
u
x
u
y
u
z
x
y
z
0
On en déduit donc que u
u y
x
 =
( )
(
)
, ,
0 0 .
9782100549337-Livre.indb 136
31/07/11 13:01