Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
132
En pratique, on montre que l’on peut appliquer cette approximation tant que
d
d
h x x
( )
< 0 2
, , c’est-à-dire jusqu’à un angle relatif des parois de l’écoulement de
l’ordre de 10°.
Cette approximation peut être généralisée au cas d’un écoulement tridimensionnel de
type couche mince. Si l’épaisseur de la couche évolue lentement dans les deux directions
de l’écoulement et si les courbures des surfaces en présence sont faibles, il est possible de
négliger la composante transversale de vitesse et de simplifier l’hypothèse cinématique :
u
u x y z u x y z u x y z
u
u z u z
x
y
z
x
y
=
(
)
(
)
(
)
(
) ⇒ = ( )
, , ,
, , ,
, ,
, ( ( )
(
)
, 0
(5.91)
Comme précédemment cela revient à négliger les termes d’élongation et de cisaillement dans le plan devant ceux de cisaillement dans l’épaisseur et à considérer que la
pression est uniforme dans l’épaisseur de l’écoulement.
(5.1)Équationdel’énergiesousformeenthalpique
Donner l’expression de la relation de conservation de l’énergie interne sous forme
enthalpique.
(5.2)ÉcoulementdeCouette(plan)
On considère l’écoulement plan entre deux plaques distantes de h dont l’une est mobile
à la vitesse U et l’autre est fixe. La largeur des parois est grande devant h ainsi que la
longueur notée L. Le fluide a un comportement newtonien et l’écoulement est incompressible et permanent. On néglige le poids du fluide devant les forces de viscosité.
y
x
p 0
p 0
h
u y
x ( )
L
U
Figure5.4
1.Montrer que le champ de vitesse est de la forme : u
u y
x
=
( )
(
)
, ,
0 0 .
2.À partir des équations de Navier-Stokes, montrer que le champ de pression est uniforme en tout point et égal à la pression atmosphérique p 0 et que u y
Uy h
x ( ) =
.
3.Calculer le débit masse de l’écoulement.
Exercices
9782100549337-Livre.indb 132
31/07/11 13:01
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En pratique, on montre que l’on peut appliquer cette approximation tant que
d
d
h x x
( )
< 0 2
, , c’est-à-dire jusqu’à un angle relatif des parois de l’écoulement de
l’ordre de 10°.
Cette approximation peut être généralisée au cas d’un écoulement tridimensionnel de
type couche mince. Si l’épaisseur de la couche évolue lentement dans les deux directions
de l’écoulement et si les courbures des surfaces en présence sont faibles, il est possible de
négliger la composante transversale de vitesse et de simplifier l’hypothèse cinématique :
u
u x y z u x y z u x y z
u
u z u z
x
y
z
x
y
=
(
)
(
)
(
)
(
) ⇒ = ( )
, , ,
, , ,
, ,
, ( ( )
(
)
, 0
(5.91)
Comme précédemment cela revient à négliger les termes d’élongation et de cisaillement dans le plan devant ceux de cisaillement dans l’épaisseur et à considérer que la
pression est uniforme dans l’épaisseur de l’écoulement.
(5.1)Équationdel’énergiesousformeenthalpique
Donner l’expression de la relation de conservation de l’énergie interne sous forme
enthalpique.
(5.2)ÉcoulementdeCouette(plan)
On considère l’écoulement plan entre deux plaques distantes de h dont l’une est mobile
à la vitesse U et l’autre est fixe. La largeur des parois est grande devant h ainsi que la
longueur notée L. Le fluide a un comportement newtonien et l’écoulement est incompressible et permanent. On néglige le poids du fluide devant les forces de viscosité.
y
x
p 0
p 0
h
u y
x ( )
L
U
Figure5.4
1.Montrer que le champ de vitesse est de la forme : u
u y
x
=
( )
(
)
, ,
0 0 .
2.À partir des équations de Navier-Stokes, montrer que le champ de pression est uniforme en tout point et égal à la pression atmosphérique p 0 et que u y
Uy h
x ( ) =
.
3.Calculer le débit masse de l’écoulement.
Exercices
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31/07/11 13:01