5.6•Approximationdelalubrificationhydrodynamique
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
y
x
h x
( )
R x
( )
u x,y
y ( )
u x,y
x ( )
u
a
Figure5.3–Écoulementdansuneconduite
avecchangementdesectionpetitetmonotone.
Les approximations de la lubrification hydrodynamique permettent, dans les conditions suivantes, d’obtenir une solution approchée :
• 1 re hypothèse : l’écoulement est stationnaire, laminaire et isotherme ;
• 2 e hypothèse : l’entrefer évolue lentement le long de l’écoulement d
d
h x x
( )
<<
(
)
1  ;
• 3 e hypothèse : les courbures des surfaces en présence sont faibles :
h x R x
x
( ) ( )
∀
 1
, avec 1
2
2
R x
h x x
( ) =
( )
d
d où R est le rayon de courbure.
Si ces hypothèses sont valables, elles nous permettent de considérer que l’écoulement
est localement analogue à un écoulement établi dans une géométrie à entrefer constant.
Cela revient à dire que les termes d’élongation sont petits devant les termes de cisaillement et que la pression est uniforme dans l’épaisseur de l’écoulement.
Considérons par exemple le cas d’un écoulement permanent de fluide newtonien et
incompressible, avec un champ de vitesse de la forme :

u
u x y u x y
x
y
=
(
)
(
)
(
)
, ,
, . Si nous
négligeons les termes d’inertie et de gravité devant les forces visqueuses, l’équation de
conservation de la quantité de mouvement et l’équation de conservation de la masse se
résument à :
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
p
x
u
x
u
y
p
y
u
x
u
y
x
x
y
y
μ
μ
2
2
2
2
2
2
2
2 2
0






∂
∂
+
∂
∂
=




 





u
x
u
y
x
y
(5.89)
En adoptant les hypothèses de la lubrification hydrodynamique, le champ de vitesse se
réduit alors localement à u
u y
x
 =
( )
(
)
, 0 et le système d’équations devient :
∂ ( )
∂
=
( )
p x
x
u y
y
x
μ
d
d
2
2
(5.90)
9782100549337-Livre.indb 131
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