Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
130
Cette dernière relation constitue l’équation de Navier-Stokes. Lorsque le fluide est
incompressible, alors :
∇ ⋅ =
u
0
(5.87)
L’équation (5.86) devient dans ce cas :
ρ
∂
∂
ρ
μ
d
d
u
t
p
x
g
u
i
i
i
i
= −
+
+ Δ
(5.88)
ExplicationdurésultatdeTrouton
Reprenons l’expérience de Trouton vue au chapitre 1. Lorsque l’on observe la déformation de l’éprouvette entre 2 instants consécutifs, on constate que le matériau
s’allonge selon x et qu’il se rétrécit dans les directions y et z à vitesses identiques
dans ces 2 directions. Ceci découle du fait que la masse du barreau doit rester
constante au cours du temps. Le champ de vitesse est donc de la forme
u u x u y u z
x
y
z
=
+
+
avec u
l t
x d d et u u
y
z
. En définissant le taux d’élongation
= ( )
1 l l t
d d , on a donc
ε
α
xx . La masse de l’éprouvette étant constante, on
doit avoir ∇ ⋅ = =
+
+
u
xx
yy
zz
0
. Comme u u
y
z
, alors
yy
zz
et donc
ε
ε
ε
α
yy
zz
xx
=
= −
= −
2
2. On en déduit finalement que le tenseur des contraintes
est :
σ
μα
μα
μα
=
− +
− −
− −
p
p
p
2
0
0
0
0
0
0
Après quelques lignes de calcul, on trouve que l’équation de conservation de quantité
de mouvements, conduit à : ∂
∂ = ∂
∂ =
zz
yy
z
y 0. Comme les faces de l’éprouvette ne subissent aucune contrainte, cela conduit donc à dire que
yy
zz
0
en tout point de l’éprouvette. Donc l’expression du tenseur des contraintes nous
conduit au résultat : p = −μα et σ
μα μ α
xx
e
3
. Cette dernière relation laissa
penser à Trouton que la viscosité « élongationnelle » pouvait différer de la viscosité
intrinsèque du matériau déduite de l’expérience de Newton.
5.6 aPProximaTion de la lubrificaTion
hydrodynamique
C’est une approximation très importante qui est abondamment utilisée pour ramener un
problème d’écoulement 2D ou 3D à un problème 1D.
Dans un grand nombre d’écoulements bidimensionnels ou axisymétriques, on observe
une évolution lente de la section de l’écoulement. C’est le cas par exemple sur la
Figure 5.3.
9782100549337-Livre.indb 130
31/07/11 13:01
130
Cette dernière relation constitue l’équation de Navier-Stokes. Lorsque le fluide est
incompressible, alors :
∇ ⋅ =
u
0
(5.87)
L’équation (5.86) devient dans ce cas :
ρ
∂
∂
ρ
μ
d
d
u
t
p
x
g
u
i
i
i
i
= −
+
+ Δ
(5.88)
ExplicationdurésultatdeTrouton
Reprenons l’expérience de Trouton vue au chapitre 1. Lorsque l’on observe la déformation de l’éprouvette entre 2 instants consécutifs, on constate que le matériau
s’allonge selon x et qu’il se rétrécit dans les directions y et z à vitesses identiques
dans ces 2 directions. Ceci découle du fait que la masse du barreau doit rester
constante au cours du temps. Le champ de vitesse est donc de la forme
u u x u y u z
x
y
z
=
+
+
avec u
l t
x d d et u u
y
z
. En définissant le taux d’élongation
= ( )
1 l l t
d d , on a donc
ε
α
xx . La masse de l’éprouvette étant constante, on
doit avoir ∇ ⋅ = =
+
+
u
xx
yy
zz
0
. Comme u u
y
z
, alors
yy
zz
et donc
ε
ε
ε
α
yy
zz
xx
=
= −
= −
2
2. On en déduit finalement que le tenseur des contraintes
est :
σ
μα
μα
μα
=
− +
− −
− −
p
p
p
2
0
0
0
0
0
0
Après quelques lignes de calcul, on trouve que l’équation de conservation de quantité
de mouvements, conduit à : ∂
∂ = ∂
∂ =
zz
yy
z
y 0. Comme les faces de l’éprouvette ne subissent aucune contrainte, cela conduit donc à dire que
yy
zz
0
en tout point de l’éprouvette. Donc l’expression du tenseur des contraintes nous
conduit au résultat : p = −μα et σ
μα μ α
xx
e
3
. Cette dernière relation laissa
penser à Trouton que la viscosité « élongationnelle » pouvait différer de la viscosité
intrinsèque du matériau déduite de l’expérience de Newton.
5.6 aPProximaTion de la lubrificaTion
hydrodynamique
C’est une approximation très importante qui est abondamment utilisée pour ramener un
problème d’écoulement 2D ou 3D à un problème 1D.
Dans un grand nombre d’écoulements bidimensionnels ou axisymétriques, on observe
une évolution lente de la section de l’écoulement. C’est le cas par exemple sur la
Figure 5.3.
9782100549337-Livre.indb 130
31/07/11 13:01