5.5•RelationdeNavier-Stokes
129
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Solution. On note 
  d d
u y
x
le taux de cisaillement. Le champ de vitesses
u
u u u
x y z
 = (
)
, ,
dans l’écoulement simplement cisaillé est :
u y
y
u
u
x
y
z
( ) =
=
=







0
0
Le tenseur des vitesses de déformation est :



ε
γ
γ
=










0
2 0
2 0 0
0
0 0
La loi de Newton donne l’expression du déviateur des contraintes :
s =










0
0
0 0
0
0 0
μ γ
μ γ


Enfin, on trouve l’expression du tenseur des contraintes :
σ
μ γ
μ γ
=
−
−
−










p
p
p


0
0
0
0
5.5.3LeséquationsdeNavier-Stokes
Nous avons démontré au chapitre 5 l’expression du bilan de quantité de mouvement à
l’échelle locale sous la forme de la relation :
ρ
ρ
ρ
σ
d
d
u
t
u
t
u u
g
=
∂
∂
+ ⋅ ∇





 =
+ ∇ ⋅
(5.84)
En introduisant la loi de comportement pour un fluide newtonien, relation (5.81), dans
la relation (5.84), on obtient pour chaque composante i :
ρ
∂
∂
ρ
μ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d
d
u
t
p
x
g
x
u
x
u
x
i
i
i
j
i
j
j
i
= −
+
+
+





 −
∇
2
1
2
⋅






u
ij
3
δ
(5.85)
ce qui donne :
ρ
∂
∂
ρ
μ
μ
∂
∂
μ ∂
∂
d
d
u
t
p
x
g
u
x
u
x
i
i
i
i
i
i
= −
+
+
+
∇ ⋅
(
) −
∇
Δ
2
3
⋅ ⋅
(
)
= −
+
+
+
∇ ⋅
(
)
u
p
x
g
u
x
u
i
i
i
i
∂
∂
ρ
μ
μ ∂
∂
Δ
3
(5.86)
9782100549337-Livre.indb 129
31/07/11 13:01