Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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Le coefficient μ V est appelé viscosité de volume car il est associé aux variations en
volume du fluide.
La pression mécanique est la trace du déviateur des contraintes et il est donc défini par :
′ = −
( )
p
p
s
trace
3
(5.79)
Soit, d’après la relation (5.78)  :
′ = −
+
∇ ⋅
p
p
u
3
2
3
λ
μ
(5.80)
On constate que les deux pressions seront égales si l’écoulement est incompressible
ou si la viscosité en volume est nulle, c'est-à-dire 2
3
0
μ
λ
+
= soit : λ
μ
= − 2 3. C’est
ce que l’on appelle la condition de Stockes. Dans ce cas on trouve que la loi de comportement est :
s
u I
=
−
∇ ⋅






2
3
μ ε
(5.81)
5.5.2LoidecomportementdeNavier-Stokes
En négligeant la viscosité en volume, pour un fluide newtonien en écoulement incompressible, la relation (5.61) montre que loi de comportement lie le déviateur des contraintes au
tenseur des vitesses de déformations sous la forme:
s  2 μ ε
(5.82)
avec :

ε
∂
∂
∂
∂
ij
i
j
j
i
u
x
u
x
=
+






1
2
(5.83)
Exercice : application à un écoulement simplement cisaillé
Déterminer l’expression du tenseur des contraintes en un point d’un fluide de viscosité dynamique m où la pression hydrostatique est p, dans le cas de l’écoulement
simplement cisaillé de la figure ci-dessous.
y
x
p 0
p 0
h
u y
x ( )
L
U
9782100549337-Livre.indb 128
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