5.5•RelationdeNavier-Stokes
127
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En utilisant la loi des gaz parfaits p
r T
 
dans la relation (5.70), on retrouve
l’expression de l’enthalpie spécifique d’un gaz parfait sous la forme classique :
h
p
r T c T
p
= −
= −
=
γ
γ
ρ
γ
γ
1
1
(5.71)
5.5 relaTion de navier-sTokes
5.5.1Tenseurdescontraintes
Navier en 1823, et Stokes, plus tard, ont généralisé la loi de Newton au cas de déformations tridimensionnelles. Le tenseur des contraintes se décompose classiquement sous la
forme d’une contribution spérique et d’un déviateur :
 =
−
s
d
déviateur
partie
sphérique


(5.72)
La partie sphérique est définie par :
d
I
p I
=
( ) = −
trace 
3
(5.73)
où p est la pression hydrostatique.
De manière générale, on admet une dépendance du déviateur des contraintes au tenseur
des taux de déformation qui pour chaque composante du tenseur s’écrit sous la forme :
s
M
ij
ijkl kl



(5.74)
On montre que la condition d’isotropie du fluide implique :
M
a
b
c
ijkl
ik jl
il jk
ij kl
=
+
+
 
 
 
(5.75)
où a, b et c sont des constantes et  ij  1 si i = j et 0 sinon. La symétrie du tenseur des
contraintes (que nous ne démontrerons pas ici) implique s
s
ij
ji

et donc a = b. On en
déduit finalement :
s
a
c
ij
ij
ji
ll ij
=
+
(
) +



ε
ε
ε δ
(5.76)
On pose a  μ et c   où m est la viscosité dynamique et l est un paramètre assimilable au coefficient de Lamé en élasticité linéaire. On voit que la relation (5.76) peut
s’écrire sous la forme équivalente :
s ij
ij
ji
ll
ij
ll ij
=
+
−
(
) + +
( )
μ ε
ε
ε δ
λ
μ ε δ




3
3
(5.77)
Soit, sous forme tensorielle :
s
u I
V
=
-
— ◊
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ +
+
Ê
Ë
Á
Á
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜
˜
˜
—
2
3
2
3
m e
l
m
m
◊ u I
 
(5.78)
9782100549337-Livre.indb 127
31/07/11 13:01