Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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on trouve que :
∂
∂
+ +





 =
s
u
p
c
g
2
2
0
ρ
ϕ
(5.64)
On trouve donc que le long d’une ligne de courant, la quantité entre parenthèses est
une constante :
u
p
g
2
2
+ +
=
ρ
ϕ
constante
(5.65)
Comme  g g z
 , on retrouve finalement le théorème de Bernoulli sur une ligne de
courant :
u
p g z
2
2
+ +
=

constante
(5.66)
Casdesfluidesbarotropes
On peut obtenir une expression du théorème de Bernoulli dans le cas où l’écoulement
est compressible. C’est le cas pour les fluides barotropes où la masse volumique ne
dépend que de la pression :  
= ( )
p (cas des gaz parfaits en évolution isotherme :
p
r T
 
ou bien isentropique : p
s C v
=
(
)
ρ γ exp
, où s est l’entropie massique).
Dès lors, on peut écrire :
1


∂
∂
=
∂
∂
( )
=
∂
∂
∫
p
s
s
p
p
h
s
d
(5.67)
où h est l’enthalpie spécifique ou massique. Dans ce cas la relation (5.66) de
Bernoulli s’écrit :
u
h z g
s
2
2
+ +
= constante
(5.68)
Dans le cas d’un fluide parfait, l’évolution est nécessairement isentropique puisque
les frottements visqueux n’existent pas et qu’il n’y a donc pas dissipation de chaleur.
Dans ce cas, nous avons vu au chapitre 2 que le lien entre les variables d’état du
fluide est tel que : p p
T T
0
0
0
1
= (
) = (
)
−
(
)
ρ ρ
γ
γ γ
/
.
Ceci conduit à :
dp
p
p
p
p
p
s
ρ
ρ
γ
γ
ρ
γ
γ
γ
γ
( )
=
= −
∂


 


 
∂
−
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
/
/
/
(5.69)
On trouve donc :
h
p
p
p
= −






= −
−
γ
γ
ρ ρ
γ
γ
ρ
γ
1
1
0
0
0
1
1
(5.70)
9782100549337-Livre.indb 126
31/07/11 13:01