5.4•ExpressionduthéorèmedeBernoulli
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
On utilise la relation vectorielle :
u u
u
u
u
⋅ ∇ = ∇
+ ∇ ∧
(
) ∧
2
2
(5.53)
Alors la relation (5.52) s’écrit :
∂
∂
+ ∇
+ ∇ ∧
(
) ∧ = −∇ −
∇
u
t
u
u
u
p
g
2
2
ϕ
ρ
(5.54)
Si le fluide est incompressible, c'est-à-dire si r est constante, alors :
∇ = ∇






p
p


(5.55)
La relation (5.54) s’écrit alors :
∂
∂
+ ∇
+ +





 + ∇ ∧
(
) ∧ =
u
t
u
p
u
u
g
2
2
0
ρ
ϕ
(5.56)
Si l’écoulement est permanent on a :
∂
∂
=
u
t
 
0
(5.57)
La relation (5.56) devient :
—
+ +
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ + — Ÿ
(
) Ÿ =
u
p
u
u
g
2
2
0
r
f
(5.58)
Nous introduisons le vecteur tourbillon que nous avons défini au chapitre 3 sous la
forme :
Ω
= ∇ ∧ u
(5.59)
La relation (5.58) devient :
∇
+ +





 + ∧ =
u
p
u
g
2
2
0
ρ
ϕ
Ω
(5.60)
Projetons cette dernière relation sur une ligne de courant de vecteur unitaire s c
 :
s
u
p
s
u
c
g
c
◊ —
+ +
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ + ◊
Ÿ
(
) =
2
2
2
0
r
f
w
(5.61)
Comme s c
et u
 sont colinéaires alors :
s
u
c
◊
Ÿ
(
) =
2
0
w
(5.62)
Finalement, avec :
s
s
c
c
⋅ ∇ =
∂
∂
(5.63)
9782100549337-Livre.indb 125
31/07/11 13:01