Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
124
soit :
ρ
ρ
σ
d
dt
u
g u u
2
2





 =
⋅ + ⋅ ∇ ⋅
(5.44)
Cette relation traduit la conservation de l’énergie cinétique à l’échelle locale.
5.3.3Conservationdel’énergieinterne
En retranchant de l’équation (5.42) l’expression de la relation de conservation de l’énergie
cinétique , on obtient la relation de conservation de l’énergie interne :
ρ
σ
σ
φ
d
d
e
t
u u
= ∇ ⋅
⋅
(
) − ⋅ ∇ ⋅ − ∇ ⋅
(5.45)
Soit :
ρ
σ
φ
d
d
e
t
u
=
∇ − ∇ ⋅
:
(5.46)
Or le tenseur des vitesses de déformation est défini par :
 = ∇ + ∇
(
)
1
2
u
u
T
(5.47)
Et le tenseur des vitesses de rotation par :
R
u
u
T
= ∇ − ∇
(
)
1
2


(5.48)
Donc :
∇ = +
u
R

(5.49)
Et donc :
σ
σ ε σ
σ ε
:
:
:
:
∇ =
+
=
u
R
(5.50)
Car le produit doublement contracté d’un tenseur symétrique avec un tenseur antisymétrique est nul. Finalement, la relation (5.46) s’écrit :
ρ
σ ε
φ
d
d
e
t
=
− ∇ ⋅
:
(5.51)
5.4 exPression du Théorème de bernoulli
Nous proposons de retrouver l’expression du théorème de Bernoulli (déjà vu au chapitre
4) à partir des lois de conservation à l’échelle locale. Nous considérons un fluide parfait
(sans effet de viscosité et donc  = − p I ), soit : s  0. Sachant que l’accélération de la
pesanteur dérive d’un potentiel : g
g
= −∇ , la relation de conservation de la quantité de
mouvement s’écrit :
ρ
ρ ϕ
∂
∂
+ ⋅ ∇





 = − ∇ − ∇
u
t
u u
p
g
(5.52)
9782100549337-Livre.indb 124
31/07/11 13:00