5.3•Conservationdel’énergie
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5.3 conservaTion de l’énergie
5.3.1Conservationdel’énergietotale
Cette loi traduit la conservation de l’énergie totale, interne et cinétique, du volume matériel W(t) au cours du temps. En notant e l’énergie interne massique et u la vitesse cela
conduit à écrire le taux de variation de l’énergie totale sous la forme :
d
d
d
t
e
u
V W Q
t
 +






=
+
( )
∫
2
2
Ω


(5.37)
Dans cette relation 
Wdésigne la puissance des forces extérieures :
W
g u V
T n u S
t
t
=
⋅
+
( ) ⋅
( )
( )
∫
∫

d
d
Ω
Γ
(5.38)
S’il n’y a pas de source interne de chaleur alors la puissance calorifique est égale au
flux de chaleur au travers de la surface G(t) :
Q
n S
t
= −
⋅
( )
∫  d
Γ
(5.39)
où

 est la densité de flux de chaleur par conduction à travers G(t).
En associant le théorème de transport à la relation de continuité, puis en appliquant la
définition de la dérivée particulaire, on trouve :
d
d
d
t
e
u
V
t
e
u
e
u
t



+






=
∂
∂
+





 + ∇ ⋅
+
( )
∫
2
2
2
2
Ω
2 2
2












( )
∫
u V
t
d
Ω
(5.40)
En remplaçant l’expression de T n
( ) par la relation (5.20) :
r
r
∂
∂
+
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ + — ◊
+
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
( )
Ú t
e
u
u e
u
V
t
2
2
2
2
d
W
= =
◊
( )
Ú r g u V
t
d
W
                                                                +
◊
-
( )
Ú s
j
n u S
t
d
G
◊
( )
Ú n S
t
d
G
(5.41)
Le volume matériel étant arbitraire et avec le théorème de la divergence, on obtient la
relation de conservation de l’énergie à l’échelle locale :
ρ
ρ
ρ
∂
∂
+





 + ∇ ⋅
+











 =
⋅
t
e
u
u e
u
g u
2
2
2
2
+ + ∇ ⋅
⋅
(
) − ∇ ⋅
σ
φ
u
(5.42)
5.3.2Conservationdel’énergiecinétique
En multipliant par u chaque terme de la loi de conservation de la quantité de mouvement,
on obtient :
ρ
ρ
σ
u
u
t
g u u
d
d
=
⋅ + ⋅ ∇ ⋅
(5.43)
9782100549337-Livre.indb 123
31/07/11 13:00