Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
122
Remarque
Pour chaque composante, la relation (5.27) s’écrit sous forme indicielle :
ρ
ρ
∂σ
∂
d
d
u
t
g
x
i
i
ij
j
=
+
(5.28)
5.2.3Conservationdumomentdequantitédemouvement
La deuxième équation du principe fondamental de la dynamique indique que le moment
de la quantité de mouvement est égal à la somme des moments des efforts. Soit donc, en
fonction des notations précédentes, le moment en un point O est :
d
d
d
d
t
OM
u V
OM
g V
OM
t
t
∧
=
∧
+
( )
( )
∫
∫


Ω
Ω
∧ ( )
( )
∫
T n S
t
d
Γ
(5.29)
Dans cette relation M désigne un point courant du volume ou de la surface concernée.
La première intégrale se simplifie comme précédemment en utilisant la conservation de
la masse (et avec d
d
OM t u u u
∧ = ∧ = 0) :
OM
u
t
V
OM
g V
OM
t
t
∧
=
∧
+
( )
( )
∫
∫
ρ
ρ
d
d
d
d
Ω
Ω
∧
( )
∫
σ n S
t
d
Γ
(5.30)
On cherche X
tel que :
OM
n S
X V
t
t
∧
=
∇ ⋅
( )
( )
∫
∫
 d
d
Γ
Ω
(5.31)
En utilisant la notation simplifiée de Einstein, chaque composante de ∇ ⋅ X
s’écrit :
∇ ⋅
(
) =
∂
∂
X
X
x
i
ir
r
(5.32)
Et en utilisant le coefficient de permutation  ipq  :
OM
n
x
n
i
ipq p qr r
∧
(
) =
σ
δ
σ
(5.33)
On a alors (avec le théorème du gradient) :
∂
∂
=
∂
∂
(
) =
∂
∂
+



X
x
x
x
x x
ir
r
ipq
r
p qr
ipq
p
qr
r
pr qr
δ
σ
δ
σ
δ σ
 

 =
∂
∂
+






δ
σ
σ
ipq
p
qr
r
qp
x x
(5.34)
On reconnaît :
∇ ⋅ =
+
∧ ∇ ⋅
X
OM
δ σ
σ
:
(5.35)
Finalement on obtient sous forme locale :
OM
u
t
OM
g
OM
∧
=
∧
+
+
∧ ∇ ⋅
ρ
ρ
δ σ
σ
d
d
:
(5.36)
Lorsque le tenseur des contraintes est symétrique, le terme δ σ
:  0.
9782100549337-Livre.indb 122
31/07/11 13:00