5.2•Formelocaledeséquationsdeconservation
121
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
 est le tenseur des contraintes. On note s le déviateur des contraintes défini par  :
s
p I
= −
( ) = +



trace
3
où I est la matrice identité. En utilisant le théorème de
transport pour une grandeur vectorielle (relation 5.12) on a :
d
d
d
d
d
t
u V
u
t
V
u u n S
t
t
t
ρ
∂ ρ
∂
ρ


  
Ω
Ω
Γ
( )
( )
( )
∫
∫
∫
=
( ) + ( ) ⋅
(5.21)
Soit :
d
d
d
d
t
u V
u t
u
t
V
u u
t
t
ρ
∂ρ
∂
ρ
∂
∂
ρ




Ω
Ω
( )
( )
∫
∫
=
+






+
( )
  
⋅
( )
∫
n S
t
d
Γ
(5.22)
En utilisant le théorème de la divergence, l’équation de continuité et la définition de la
dérivée particulaire, la relation (5.22) se met sous la forme :
d
d
d
t
u V
u t
u
t
u u
t
ρ
∂ρ
∂
ρ
∂
∂
ρ
Ω( )
∫
=
+





 + ∇ ⋅ (
)

  

 
=
+ ∇ ⋅ ( )
(
)
( )
( )
∫
∫
d
d
V
u t
u V
t
t
Ω
Ω
∂ρ
∂
ρ
= 0 (ECM)
d
d
+
+ ⋅ ∇






ρ
∂
∂
ρ
u
t
u u
u
t t
V
t
d
Ω( )
∫
(5.23)
Soit :
d
d
d
d
d
d
t
u V
u
t
V
t
t




Ω
Ω
( )
( )
∫
∫
=
(5.24)
Finalement l’équation de conservation de la quantité de mouvement s’écrit :
ρ
ρ
σ
d
d
d
d
d
u
t
V
g V
n S
t
t
t



Ω
Ω
Γ
( )
( )
( )
∫
∫
∫
=
+
(5.25)
Remarque
En régime permanent lorsque le volume matériel Ω t
( ) coïncide avec le volume de
contrôle V, on retrouve le théorème de quantité de mouvement (relation (4.37)) du bilan
macroscopique de quantité de mouvements lorsque le fluide est parfait (s  0).
En utilisant les théorèmes du gradient et de la divergence nous pouvons remplacer
l’intégrale sur la surface par une intégrale sur le volume :
ρ
ρ
σ
d
d
d
d
u
t
V
g
V
t
t
Ω
Ω
( )
( )
∫
∫
=
+ ∇ ⋅
(
)
(5.26)
Cette relation étant valable pour tout W(t) à n’importe quel instant t, on obtient la
forme locale de conservation de quantité de mouvement :
ρ
ρ
σ
∂
∂
+ ⋅ ∇





 =
+ ∇ ⋅
u
t
u u
g
(5.27)
9782100549337-Livre.indb 121
31/07/11 13:00